Liczby Armstronga

Przykłady liczb narcystycznych dla wykładnika równego 3.

Liczba Armstronga (narcystyczna) – n-cyfrowa liczba naturalna, która jest sumą swoich cyfr podniesionych do potęgi $n.$

Definicja

Niech $a=\sum _{k=1}^n{a}_k{b}^{k-1}$ będzie liczbą naturalną z reprezentacją $a_n{a}_{n-1}\dots a_1$ w systemie o podstawie $b$ (tak więc $0⩽a_k<b$ dla $k=1,\dots ,n$). Jeśli dla pewnej liczby naturalnej $m$ zachodzi

$a=\sum _{i=1}^m{a_i}^m,$

to powiemy, że $a$ jest m-narcystyczną liczbą w bazie $b$.

Liczba narcystyczna to n-cyfrowa n-narcystyczna liczba w bazie dziesiętnej. Tak więc liczby narcystyczne to n-cyfrowe liczby naturalne spełniające warunek:

$\sum _{1⩽k⩽n}{a}_k^n=\sum _{1⩽k⩽n}{a}_{k}10^{k-1},$

gdzie: $a_n,a_{n-1},\dots ,a_1$ to kolejne cyfry liczby (od najbardziej znaczącej do najmniej znaczącej).

Własności

• Istnieją dokładnie cztery liczby 3-narcystyczne:

$153=1^3+5^3+3^3$

$370=3^3+7^3+0^3$

$371=3^3+7^3+1^3$

$407=4^3+0^3+7^3$

• Istnieją dokładnie trzy liczby 4-narcystyczne:

$1634=1^4+6^4+3^4+4^4$

$8208=8^4+2^4+0^4+8^4$

$9474=9^4+4^4+7^4+4^4$

• Istnieją dokładnie trzy liczby 5-narcystyczne:

$54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5$

$92727=9^5+2^5+7^5+2^5+7^5$

$93084=9^5+3^5+0^5+8^5+4^5$

• Istnieje dokładnie jedna liczba 6-narcystyczna:

$548834=5^6+4^6+8^6+8^6+3^6+4^6$

• Istnieją dokładnie cztery liczby 7-narcystyczne:

$1741725=1^7+7^7+4^7+1^7+7^7+2^7+5^7$

$4210818=4^7+2^7+1^7+0^7+8^7+1^7+8^7$

$9800817=9^7+8^7+0^7+0^7+8^7+1^7+7^7$

$9926315=9^7+9^7+2^7+6^7+3^7+1^7+5^7$

• Jeśli $x$ jest liczbą narcystyczną, to

$10^{n-1}⩽x⩽n{9}^n.$

Ponieważ $10^{n-1}>n{9}^n$ dla $n⩾61,$ to z powyższych nierówności wnioskujemy, że istnieje skończona liczba liczb Armstronga. Pokazano, że istnieje dokładnie 88 takich liczb. Największa z nich to 115132219018763992565095597973971522401, składająca się z 39 cyfr.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-07-02].