Złota funkcja

Złota funkcja – funkcja zmiennej rzeczywistej, której wykresem w kartezjańskim układzie współrzędnych XY jest górna gałąź hiperboli:

\frac{y^{2} - 1}{y} = x .

W formie jawnej:

y = gold x = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 4}}{2} .

Mając zdefiniowaną funkcję $gold (x),$ dolną gałąź hiperboli można opisać jako wykres $y = - gold (- x) .$

Własności

Funkcja jest ciągła, dodatnia. Dla przeciwnych argumentów przyjmuje odwrotne wartości:

gold (- x) = \frac{1}{gold x},

czyli

gold x \cdot gold (- x) = 1 .

Dla argumentów dążących do minus nieskończoności funkcja maleje do zera, zaś dla rosnących do nieskończoności rośnie nieograniczenie:

\lim_{x \to - \infty} gold x = 0, \lim_{x \to \infty} gold x = \infty

i asymptotami wykresu są

y = 0

dla

x \to - \infty,

y = x

dla

x \to + \infty .

Wartością gold(0) jest 1, gold(1) jest złota liczba $(1 + \sqrt{5}) : 2,$ a gold(2) – srebrna liczba $1 + \sqrt{2} .$

Złota funkcja jest powiązana z sinusem hiperbolicznym przez równość:

arsinh x = \ln (gold 2 x) .