Twierdzenie o przyrostach

Twierdzenie o przyrostach – uogólnienie twierdzenia Lagrange’a na funkcje o wartościach w przestrzeniach unormowanych.

Twierdzenie

Niech $Y$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $f:[a,b]\to Y$ będzie funkcją ciągłą, różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeżeli istnieje taka nieujemna liczba $M,$ że

$\Vert df(x)\Vert ⩽M$ dla każdego $x\in (a,b),$

to

$\Vert f(b)-f(a)\Vert ⩽M(b-a)$

Można również sformułować twierdzenie analogiczne do twierdzenia Cauchy’ego. Dokładniej:

Niech $Y$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $f:[a,b]\to Y$ oraz $g:[a,b]\to ℝ$ są ciągłe i różniczkowalne wewnątrz tego przedziału. Jeżeli

$\Vert df(x)\Vert ⩽g^{\prime }(x),$

to

$\Vert f(b)-f(a)\Vert ⩽g(b)-g(a).$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę