Wielomian symetryczny

Wielomian symetryczny – wielomian $W(x_1,x_2,\dots ,x_n),$ który po dowolnej permutacji zmiennych $x_1,x_2,\dots ,x_n$ dla dowolnie wybranych zmiennych będzie przyjmował takie same wartości, jak przed permutacją.

Definicja formalna

Niech $W:=W(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ będzie dowolnym wielomianem $n$ zmiennych. Zmienne w tym wielomianie możemy podstawiać jedne za drugie za pomocą permutacji $\sigma$ zbioru $n$-elementowego:

$\sigma =\left(\begin{array}{ccccc}{x}_1& x_2& x_3& \dots & x_n\\ x_{\sigma (1)}& x_{\sigma (2)}& x_{\sigma (3)}& \dots & x_{\sigma (n)}\end{array}\right)$

i otrzymać w ten sposób nowy wielomian $W_{\sigma }:=W_{\sigma }(x_1,x_2,\dots ,x_n).$ Jeżeli:

$W_{\sigma }=W$

dla dowolnej permutacji $\sigma ,$ to $W$ nazywamy wielomianem symetrycznym.

Wielomiany stałe są symetryczne. Podobnie symetryczna jest suma, różnica oraz iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych. Innymi słowy, wielomiany symetryczne tworzą pierścień

$S[x_1,\dots ,x_n],$

a nawet algebrę nad ciałem (lub pierścieniem) współczynników wyjściowego pierścienia wielomianów.

Przykłady wielomianów symetrycznych

Następujące wielomiany są symetryczne:

$W(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2,$

$W(x_1,x_2,x_3)=x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1+x_1+x_2+x_3.$

Każdy jednomian postaci $W(x_1,x_2,\dots ,x_n)=l{x}_1^k{x}_2^k\dots x_n^k,$ gdzie $k\in \mathbb{N},l\in ℝ$ jest symetryczny.

Przykłady wielomianów, które nie są symetryczne

Zgodnie z definicją, żeby udowodnić, że dany wielomian $W$ nie jest symetryczny, należy podać przykład permutacji σ, w wyniku której otrzymany wielomian $W_{\sigma }$ jest różny od wielomianu $W$ (zobacz: kontrprzykład).

Dla przykładu udowodnimy, że wielomian

$W(x_1,x_2,x_3):=x_1^2{x}_2+x_1{x}_3^2+x_2^2{x}_3$

nie jest symetryczny.

Rozważmy permutację $\sigma =\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ x_2& x_1& x_3\end{array}\right).$

Otrzymujemy wielomian

$W_{\sigma }(x_1,x_2,x_3)=x_2^2{x}_1+x_2{x}_3^2+x_1^2{x}_3=x_1{x}_2^2+x_1^2{x}_3+x_2{x}_3^2.$

Współczynnik przy $x_1^2{x}_2$ wynosi 1 dla $W,$ ale 0 dla $W_{\sigma }.$ Zatem $W_{\sigma }\ne W,$ więc wielomian $W$ nie jest symetryczny.

Elementarne wielomiany symetryczne i twierdzenie podstawowe

Elementarnymi wielomianami symetrycznymi $n$ zmiennych nazywamy każdy z wielomianów symetrycznych postaci

$\begin{array}{cc}{S}_1(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =\sum _{1⩽i_1⩽n}{x}_{i_1}\\ S_2(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =\sum _{1⩽i_1<i_2⩽n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\\ S_3(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =\sum _{1⩽i_1<i_2<i_3⩽n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}{x}_{i_3}\\ S_4(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =\sum _{1⩽i_1<i_2<i_3<i_4⩽n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}{x}_{i_3}{x}_{i_4}\\ & \dots \\ S_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =\sum _{1⩽i_1<i_2<\dots <i_n⩽n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\dots x_{i_n}\end{array}$

gdzie $n\in \mathbb{N}.$

Elementarne wielomiany symetryczne nazywane są także wielomianami symetrycznymi podstawowymi.

Jeżeli $W(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ jest dowolnym wielomianem symetrycznym, to istnieje dokładnie jeden wielomian $V(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ taki, że

$W(x_1,x_2,\dots ,x_n)=V(S_1(x_1,x_2,\dots ,x_n),S_2(x_1,x_2,\dots ,x_n),\dots ,S_k(x_1,x_2,\dots x_n)).$

Nieformalnie, oznacza to, że za pomocą sumowania, mnożenia i mnożenia przez liczbę rzeczywistą wielomianów $S_1,S_2,\dots ,S_n$ można zbudować każdy wielomian symetryczny. Natomiast pełne i formalne sformułowanie tego wyniku brzmi:

Twierdzenie. Przyporządkowanie (polegające na podstawieniu)

$V(S_1,\dots ,S_n)\mapsto V(S_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,S_n(x_1,\dots ,X_n))$

jest izomorfizmem algebry wielomianowej $K[S_1,\dots ,S_n]$ na algebrę wielomianów symetrycznych $S_K[X_1,\dots ,X_n]$ (gdzie $K$ oznacza ciało współczynników).

Uwaga. Po lewej stronie powyższego przyporządkowania $S_j$ jest traktowane jako zmienna symboliczna, a po prawej – jako wielomian od zmiennych $x_1,\dots ,x_n.$

Przykłady:

$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1)=S_1^2-2S_2,$

$5x_1{x}_2+5x_1{x}_3+5x_2{x}_3=5(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)=5S_2,$

$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3-3(x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2)=(x_1+x_2{)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)=S_1^3-3S_2{S}_1.$

Wielomiany symetryczne a wzory Viète’a

Jeżeli wielomian $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ (gdzie $a_n\ne 0$) ma $n$ pierwiastków ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n,$ to zachodzą wzory Viète’a:

$\begin{array}{cc}{S}_1({\xi }_1\dots ,{\xi }_n)& =-\frac{a_{n-1}}{a_n}\\ S_2({\xi }_1\dots ,{\xi }_n)& =\frac{a_{n-2}}{a_n}\\ & \dots \\ S_n({\xi }_1\dots ,{\xi }_n)& =(-1{)}^n\cdot \frac{a_0}{a_n}\end{array}$

Uwaga. Każdy wielomian stopnia $n,$ nad ciałem $k,$ ma $n$ pierwiastków (niekoniecznie różnych) nad zamkniętym algebraicznie ciałem $K,$ będącym rozszerzeniem ciała $k$ (ale na ogół wielomian ten nie ma $n$ pierwiastków nad samym ciałem $k$).

Ze wzorów Viète’a i podstawowego twierdzenia (patrz wyżej) natychmiast wynika niezwykle ważny wniosek:

Twierdzenie. Niech ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$ będą pierwiastkami wielomianu $f,$ stopnia n, nad ciałem $k$ (same pierwiastki należą do pewnego ciała, będącego rozszerzeniem ciała $k$). Niech $F$ będzie wielomianem symetrycznym stopnia $n,$ nad tym samym ciałem $k$ (może być nad mniejszym). Wtedy

$F({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in k.$

Linki zewnętrzne

• Wielomiany symetryczne Rozdział IX monografii Zasady algebry wyższej autorstwa Wacława Sierpińskiego.