Zbiór algebraiczny

Zbiór algebraiczny – podzbiór przestrzeni afinicznej $K^n,$ gdzie $K$ oznacza pewne ciało (najczęściej algebraicznie domknięte), złożony z wszystkich wspólnych zer pewnego zbioru $𝒮$ wielomianów pierścienia $K[X_1,\dots ,X_n].$ Innymi słowy, zbiór

$V=\{(x_1,\dots ,x_n)\in K^n:f(x_1,\dots ,x_n)=0,f\in 𝒮\subset K[X_1,\dots ,X_n]\}$

nazywamy zbiorem algebraicznym wyznaczonym przez zbiór $𝒮$ wielomianów (albo zbiorem wspólnych zer zbioru $𝒮$ i oznaczamy $V=𝒵(𝒮$).

Jeśli $(𝒮)$ jest ideałem pierścienia $K[X_1,\dots ,X_n],$ generowanym przez zbiór $𝒮,$ to $𝒵((𝒮))=𝒵(𝒮).$ Każdy zbiór algebraiczny można zatem traktować jako wspólny zbiór zer pewnego ideału pierścienia wielomianów. Z twierdzenia Hilberta o bazie wiadomo, że każdy ideał pierścienia $K[X_1,\dots ,X_n]$ jest skończenie generowany, zatem istnieją takie wielomiany $f_1,\dots ,f_r,$ które generują ideał $(𝒮).$ Z drugiej strony dla każdego wielomianu $f\in (𝒮)$ istnieją wielomiany $g_1,\dots ,g_r\in K[X_1,\dots ,X_n],$ że

$f=g_1{f}_1+\dots +h_r{f}_r.$

Wynika stąd, że każde zero wielomianów $f_1,\dots ,f_r$ jest także zerem dowolnego wielomianu z ideału $(𝒮).$ Zatem każdy zbiór algebraiczny jest zbiorem rozwiązań skończonego układu równań algebraicznych

$\{\begin{array}{c}{f}_1(x_1,\dots ,x_n)=0\\ ⋮\\ f_r(x_1,\dots ,x_n)=0\end{array}.$

Często, przyjmuje się właśnie taką definicję zbioru algebraicznego. Łatwo zauważyć, że zbiorem algebraicznym ideału zerowego jest cała przestrzeń $K^n,$ natomiast zerem ideału jednostkowego $(1)$ jest zbiór pusty, gdyż wielomian stały $1$ nie ma zer. Jak widać, zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami algebraicznymi. Można wykazać, że suma skończonej rodziny zbiorów algebraicznych oraz część wspólna dowolnej rodziny podzbiorów algebraicznych przestrzeni $K^n$ są zbiorami algebraicznymi. Pozwala to wprowadzić w tej przestrzeni topologię, przyjmując za rodzinę zbiorów domkniętych rodzinę zbiorów algebraicznych. Tak określoną topologię nazywamy topologią Zariskiego przestrzeni $K^n.$ Topologia Zariskiego przestrzeni $K^{n+m}=K^n\times K^m$ nie jest topologią Tichonowa.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę