Term

Szablon:Dopracować Term (formuła nazwowa) – wyrażenie składające się ze zmiennych oraz symboli funkcyjnych o dowolnej argumentowości (w tym o argumentowości 0, czyli stałych) z pewnego ustalonego zbioru.

W wielu dziedzinach matematyki używa się określenia term na oznaczenie napisów (wyrażeń) formalnych, które mogą być traktowane jako nazwy na obiekty matematyczne. W większości przypadków znaczenie to można przedstawić jako termy w pewnym języku pierwszego rzędu, opisane poniżej.

Termy w logice matematycznej

Termy języków pierwszego rzędu

Niech $\tau$ będzie alfabetem języka pierwszego rzędu $ℒ(\tau ).$ Tak więc $\tau$ jest zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Język $ℒ(\tau )$ ma też ustaloną nieskończoną listę zmiennych (zwykle $x_0,x_1,\dots$).

Termy języka $ℒ(\tau )$ to elementy najmniejszego zbioru $𝐓$ takiego, że:

• wszystkie stałe i zmienne należą do $𝐓$
• jeśli $t_1,\dots ,t_n\in 𝐓$ i $f\in \tau$ jest $n$-arnym symbolem funkcyjnym, to $f(t_1,\dots ,t_n)\in 𝐓.$

Przykłady

• Język teorii grup to $ℒ(\{*\})$ gdzie $*$ jest binarnym symbolem funkcyjnym. Przykładami termów tego języka są:

$x_1*x_1,$ oraz $x_1*(x_2*(x_1*(x_2*x_1))),$ a także $(x_1*(x_1*(x_1*(x_1*x_1))))*(x_1*(x_2*(x_1*(x_2*x_1))))$

• Język ciał uporządkowanych to $ℒ(\{+,\cdot ,0,1,⩽\})$ gdzie $+,\cdot$ są binarnymi symbolami funkcyjnymi a $⩽$ jest binarnym symbolem relacyjnym. Przykładowe termy tego języka to

$1+(0+1),$   $(1+1)\cdot ((1+1)\cdot 1),$   $((x_1+x_2)+0)\cdot x_7.$

Języki wyższych rzędów

W analogiczny sposób wprowadza się termy w językach wyższych rzędów, a także w bardziej skomplikowanych logikach.

Termy boole’owskie

W teorii forsingu rozważa się termy boole’owskie wprowadzane następująco. Niech $𝔹=(B,+,\cdot ,\sim ,\mathrm{𝟎},\mathrm{𝟏})$ będzie zupełną algebrą Boole’a. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych $\alpha$ definiujemy zbiory ${𝐕}_{\alpha }^{𝔹}$ złożone z termów boole’owskich rangi $\alpha$:

• ${𝐕}_0^{𝔹}=\mathrm{\varnothing }$
• ${𝐕}_{\alpha }^{𝔹}=\bigcup _{\beta <\alpha }{𝐕}_{\beta }^{𝔹}$ – gdy $\alpha$ jest liczbą graniczną
• ${𝐕}_{\alpha +1}^{𝔹}$ jest zbiorem wszystkich funkcji $t,$ których dziedzina $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(t)$ jest podzbiorem ${𝐕}_{\alpha }^{𝔹}$ a wartości należą do algebry $𝔹.$

Kładziemy też ${𝐕}^{𝔹}=\bigcup _{\alpha \in 𝐎𝐍}{𝐕}_{\alpha }^{𝔹}.$

Termy boole’owskie są nazwami na obiekty w rozszerzeniach generycznych modeli teorii mnogości w tym sensie, że każdy element rozszerzenia jest interpretacją pewnego termu przez filtr generyczny.

Termy w informatyce

W sztucznej inteligencji term służy do reprezentowania bytów w programowaniu w logice (na przykład w języku Prolog).

W Prologu można wyróżnić kilka rodzajów termów:

• Liczby

Wszystkie wersje Prologu pozwalają na używanie liczb całkowitych (integer), np. 625, +12, -23. Większość wersji Prologu pozwala również na liczby zmiennoprzecinkowe, np. 6.43, -.245.

• Atomy

Atomy są stałą, która nie ma numerycznej wartości. Istnieją trzy warianty, w których można zapisać atom: a) sekwencja jednej lub wielu liter, numeru i podkreślnika zaczynająca się od małej litery, np. agata, dzisiaj_jest_sobota, a32_BCD b) sekwencja znaków zamkniętych w pojedynczy cudzysłów, może zawierać spacje, np. 'Dzisiaj jest sobota', '32abc', 'dzisiaj-jest-sobota' c) sekwencja jednego lub wielu znaków specjalnych: + - * / > < = & # @ :

• Zmienne

W zapytaniu zmienna jest używana do określenia termu, np. zmienna X może oznaczać atom - pies, liczbę - 23, term złożony czy listę. Nazwa zmiennej jest oznaczona przez dowolną sekwencję jednej lub więcej liter, cyfr, podkreślenia, zaczynając od wielkiej litery lub podkreślnika, np. X, Autor, Osoba_A, _123A. Zmienna składająca się z pojedynczego podkreślnika jest nazywana zmienną anonimową.

• Termy złożone

Termy te mają fundamentalne znaczenie przy pisaniu programów Prolog. Term złożony zaczyna się od atomu, znanego tutaj jako funktor. Po funktorze następuje sekwencja argumentów, które są ujęte w nawiasy. functor(term_1, term_2, ... ,term_n), n>=1 Liczbę argumentów w termie złożonym nazywa się arnością.

• Listy

Listy często traktuje się jako specjalny typ termu złożonego albo osobny typ w zależności od uczonego. Listy zawierają argumenty zamknięte w nawiasy kwadratowe, oddzielone przecinkami, np. [pies, kot, y, [p,q,R], miasto(poznan)]. Lista bez elementów jest pustą listą, którą zapisuje się w ten sposób [].

Często spotykaną interpretacją termu jest drzewo etykietowane.