Wielomiany Tonellego

Wielomiany Tonellego – rodzina wielomianów efektywnie aproksymujących rzeczywiste funkcje ciągłe, określone na pewnym przedziale.

Definicja

Niech $a,b\in ℝ,0<b-a<1,f:[a,b]\to ℝ$ będzie funkcją ciągłą. Jeśli przedłużymy ją w sposób ciągły na przedział $[\alpha ,\beta ]$ taki, że $[a,b]\subset [\alpha ,\beta ],\beta -\alpha <1,$ to wielomian

$T_n(x)=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(u)t_n(u-x)du,$

gdzie:

$t_n(z)=\frac{(1-z^2{)}^n}{\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1-u^2{)}^{n}du},n\in \mathbb{N}$

nazywamy $n$-tym wielomianem Tonellego dla funkcji $f.$

Analogicznie można zdefiniować wielomiany Tonellego dla funkcji ciągłych przestrzeni ${ℝ}^m.$

Własności

• Ciąg $T_n(x)$ jest zbieżny jednostajnie do $f$ na przedziale $[a,b].$
• Jeśli $f$ jest klasy ${\mathrm{C}}^r$ w przedziale $[a,b]$ oraz jej przedłużenie na przedział $[\alpha ,\beta ]$ (określony jw.) jest również klasy ${\mathrm{C}}^r,$ przy czym $f^{(i)}(\alpha )=f^{(i)}(\beta )=0,i⩽r-1,$ to

$T{\text{'}}_n(x)=-\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(u)t{\text{'}}_n(u-x)dx=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{f}^{\prime }(u)t_n(u-x)du$

jest $n$-tym wielomianem Tonellego dla $f^{\prime }.$ Skąd $T_n^{(i)}$ jest $n$-tym wielomianem Tonellego dla $f^{(i)}$ oraz $T_n^{(i)}$ jednostajnie do $f^{(i)},i⩽p$

Zobacz też

• interpolacja wielomianowa
• twierdzenie Stone’a-Weierstrassa
• wielomiany Bernsteina

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę