Rozkład F Snedecora

Szablon:Rozkład prawdopodobieństwa infobox Szablon:Wikiźródła Rozkład F Snedecora, rozkład F, rozkład Fishera-Snedecora – rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej, wykorzystywany między innymi w testach statystycznych, na przykład w analizie wariancji.

Definicja

Jeżeli niezależne zmienne losowe $S_1$ i $S_2$ mają rozkłady chi-kwadrat o odpowiednio $d_1$ i $d_2$ stopniach swobody: $S_1\sim {\chi }_{d_1}^2$ i $S_2\sim {\chi }_{d_2}^2,$ to zmienna losowa $X=\frac{S_1/d_1}{S_2/d_2}$ ma rozkład F o $d_1,$ $d_2$ stopniach swobody, co zapisujemy:

$X=\frac{S_1/d_1}{S_2/d_2}\sim F_{d_1,d_2}.$

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej $X$ jest dana wzorem:

$\begin{array}{cc}{f}_{d_1,d_2}(x)& =\frac{\sqrt{\frac{(d_{1}x{)}^{d_1}{d}_2^{d_2}}{(d_{1}x+d_2{)}^{d_1+d_2}}}}{x\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}\\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}{\left(\frac{d_1}{d_2}\right)}^{\frac{d_1}{2}}{x}^{\frac{d_1}{2}-1}{(1+\frac{d_1}{d_2}x)}^{-\frac{d_1+d_2}{2}}\end{array}$

dla $x>0,$ gdzie $\mathrm{B}$ to funkcja beta.

Dystrybuanta dana jest wzorem:

$F_{d_1,d_2}(x)=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_2)}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}),$

gdzie $I$ to regularyzowana niekompletna funkcja beta.

Historia i nazwa

W 1924 roku Ronald Fisher stworzył tablice dla rozkładu, który oznaczył literą $Z=\ln (F/2),$ zaś w 1934 roku George Snedecor w hołdzie Fisherowi nadał rozkładowi $\frac{S_1/d_1}{S_2/d_2}$ nazwę F i stablicował go.