Test dla proporcji

Testy dla proporcji – testy parametryczne służące do weryfikacji hipotez dotyczących wartości proporcji w populacji generalnej lub też do porównania wartości proporcji w kilku populacjach – na podstawie znajomości wartości tej proporcji w losowej próbie (czy też dwóch lub kilku próbach) pobranych z populacji.

Proporcją w statystyce nazywamy liczbę (ułamek, procent) wyrażający, jaka część elementów pewnego zbioru spełnia określony warunek. Inne równoważnie stosowane określenia to: frakcja, wskaźnik struktury. Na przykład jeśli w grupie $n$ osób jest $m$ palących, to proporcja osób palących w tej grupie jest równa

$p=\frac{m}{n}.$

Struktura i podział testów

Hipotezy dotyczące proporcji testuje się zgodnie z ogólnymi zasadami testowania hipotez statystycznych: formułujemy hipotezy, zakładamy poziom istotności $\alpha$ – dopuszczalną wartość błędu pierwszego rodzaju, następnie na podstawie danych z próby wyznaczamy wartość statystyki testowej, po czym porównujemy ją z wartościami krytycznymi odczytanymi z tablic odpowiedniego rozkładu teoretycznego.

Postać stosowanej statystyki testowej zależy od następujących czynników:

• czy badamy hipotezę dotyczącą jednej, dwóch, czy wielu proporcji,
• jaka jest liczebność próby (prób) występujących w danym zagadnieniu,
• w przypadku dwu lub więcej prób – czy próby są niezależne, czy zależne (powiązane).

Poniżej przedstawiono w skrócie kilka testów najczęściej wykorzystywanych w poszczególnych sytuacjach.

Testy dla jednej proporcji (test dla prób dużych)

W próbie losowej o liczebności $n$ jest $m$ elementów spełniających pewien warunek. Wówczas proporcja w próbie $p=\frac{m}{n}.$ Chcemy sprawdzić, czy taki wynik losowania pozwala przyjąć, że w całej populacji proporcja ta ma zadaną z góry wartość $p_o.$ Hipotezy mają postać:

$H_0:p=p_0,$

$H_1:$ postać hipotezy alternatywnej zależy od sformułowania zagadnienia:

Szablon:Wzór

Szablon:Wzór

Szablon:Wzór

Założenia: próba musi być dostatecznie duża, to znaczy jej liczebność musi spełniać warunek $n>50,$ a otrzymana wartość proporcji z próby powinna spełniać warunek: $0,2<p<0,8.$ Można wtedy zastosować statystykę o rozkładzie normalnym.

Obliczamy:

$z=\frac{p-p_o}{\sqrt{\frac{p_o\cdot q_o}{n}}},$

gdzie $q_o=1-p_o.$ Jeśli hipoteza zerowa $H_0$ jest prawdziwa, to statystyka $z$ ma w przybliżeniu standardowy rozkład normalny – wynika to z Centralnego Twierdzenia Granicznego.

Wartość tak obliczonej statystyki porównujemy z wartością krytyczną (lub dwiema wartościami krytycznymi) wyznaczonymi na podstawie poziomu istotności $\alpha$ dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym.

Wartości krytyczne znajdujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego. Jeżeli $U$ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, a $U^{-1}$ – funkcją odwrotną do dystrybuanty, natomiast $\alpha$ – założonym poziomem istotności – to odczytujemy:

• dla przypadku Szablon:LinkWzór:

$z_{kryt}=U^{-1}(1-\alpha )$

• w przypadku Szablon:LinkWzór:

$z_{kryt}=U^{-1}(\alpha )=-U^{-1}(1-\alpha )$

• zaś w przypadku Szablon:LinkWzór mamy 2 wartości graniczne:

$z_{kryt1}=U^{-1}(1-\frac{\alpha }{2})$

$z_{kryt2}=-z_{kryt1}.$

Przedział krytyczny:

• w przypadku Szablon:LinkWzór jest prawostronny, czyli gdy $z>z_{kryt}$ – odrzucamy $H_0,$ w przypadku przeciwnym – nie ma podstaw do jej odrzucenia,
• w przypadku Szablon:LinkWzór przedział krytyczny jest lewostronny (dla $z<z_{kryt}$ odrzucamy $H_0$),
• w przypadku Szablon:LinkWzór przedział krytyczny jest obustronny (dla $z>z_{kryt1}$ i dla $z<z_{kryt2}$ odrzucamy $H_0$).

Testy dla dwóch proporcji

Dwie próby niezależne

Poniżej omówiono dwa testy – jeden dla dużych liczebności prób, oparty na statystyce $z$ o rozkładzie normalnym, analogiczny do omówionego powyżej dla jednej próby, drugi, możliwy do zastosowania przy nieco mniejszych liczebnościach prób, oparty na statystyce o rozkładzie chi-kwadrat.

Test dla dwóch prób dużych

Liczebności prób powinny spełniać relacje: $n_1>50$ i $n_2>50.$ Jeżeli spośród $n_1$ elementów pierwszej próby $m_1$ spełnia określony warunek, to proporcja z próby jest równa

$p_1=\frac{m_1}{n_1}.$

Analogicznie dla drugiej próby:

$p_2=\frac{m_2}{n_2}.$

Wyznaczamy proporcję dla „próby połączonej”:

$\overline{p}=\frac{m_1+m_2}{n_1+n_2}$

oraz $\overline{q}=1-\overline{p},$ a następnie wyznaczamy wartość statystyki $z:$

$z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{\overline{p}\cdot \overline{q}\cdot (\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}.$

Statystyka ta ma rozkład normalny i wartości krytyczne oraz obszary krytyczne wyznaczamy dla tego testu tak samo, jak to opisano wcześniej w teście dla jednej proporcji.

Test dla dwóch prób o mniejszych liczebnościach (oparty na statystyce chi-kwadrat)

Tutaj liczebności muszą spełniać warunek $n=n_1+n_2>20.$

Liczby elementów spełniających lub nie spełniających zadanego warunku w poszczególnych populacjach można zapisać w tabeli 2×2:

Liczba elementów	Próba 1	Próba 2	Suma
spełniających warunek (TAK)	a	b	a + b
nie spełniających warunku (NIE)	c	d	c + d
Suma	n1=a+c	n2=b+d	n=a+b+c+d

Na podstawie tabeli obliczamy wartość statystyki z poprawką Yatesa:

${\chi }^2=\frac{{(|ad-bc|-\frac{n_s}{2})}^2\cdot n}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},$

gdzie:

$n_s=\frac{n_1\cdot n_2}{n_1+n_2}.$

Jeżeli liczebności prób są na tyle duże, że $n_1+n_2>40$ – można wówczas pominąć w liczniku składnik $\frac{n_s}{2}$ w nawiasie. Wartości krytyczne wyznacza się z tablic rozkładu chi-kwadrat o 1 stopniu swobody.

Dwie próby zależne

Ten przypadek występuje na przykład wtedy, gdy te same obiekty czy osoby stanowiące próbę są badane dwukrotnie w różnych warunkach. Wtedy zwykle liczebności obu prób są jednakowe: $n_1=n_2=n.$

Wynikiem takiego eksperymentu są 4 liczby, stwierdzające, ile obiektów w każdej z prób spełnia lub nie spełnia warunku. Wyniki takie można zestawić w tabelce 2×2:

Liczebności	Próba 2: TAK	Próba 2: NIE
Próba 1:TAK	a	b
Próba 1: NIE	c	d

Te same wyniki można też zaprezentować w postaci tabelki proporcji zamiast liczebności (gdzie np. $p_{11}=\frac{a}{n},p_{10}=\frac{b}{n}$ itd.)

Proporcje:	Próba 2: TAK	Próba 2: NIE
Próba 1:TAK	$p_{11}$	$p_{10}$
Próba 1: NIE	$p_{01}$	$p_{00}$

W zależności od liczebności prób możliwe są różne odmiany testu.

Liczebność duża

Jeżeli $n⩾20,$ to wyznaczamy statystykę $z$ o rozkładzie normalnym z jednego ze wzorów:

$z=\frac{b-c}{\sqrt{b+c}},$

$z=\frac{p_{10}-p_{01}}{\sqrt{\frac{p_{10}+p_{01}}{n}}},$

$z=\frac{a-d}{\sqrt{a+d}},$

$z=\frac{p_{11}-p_{00}}{\sqrt{\frac{p_{11}+p_{00}}{n}}}.$

(Stosujemy dowolny z powyższych wzorów, zależnie od dostępnych danych).

Wartość statystyki $z$ porównujemy z wartością $z_{kryt}$ wyznaczoną z tablic rozkładu normalnego, przy czym postępowanie jest takie samo, jak opisane powyżej dla testu dla jednej proporcji.

Liczebność mała (test McNemara)

W tym przypadku hipotezy mają postać:

$H_0:p_{11}=p_{10}$ (proporcje w obu doświadczeniach są równe),

$H_1:p_{11}\ne p_{10}$ (proporcje w obu przypadkach różnią się istotnie).

Jeżeli $b+c>10$ oraz zarówno $b>5,$ jak i $c>5$ to można wykorzystać statystykę

${\chi }^2=\frac{(b-c{)}^2}{b+c}.$

Jeżeli natomiast liczebności są jeszcze mniejsze, tak, że $b+c>10,$ ale $b<5$ lub $c<5,$ należy wykorzystać nieco zmodyfikowany wzór:

${\chi }^2=\frac{(|b-c|-1{)}^2}{b+c}.$

Wartość krytyczną odczytujemy z tablic rozkładu chi-kwadrat dla danego poziomu istotności $\alpha$ i $\nu =1$ stopnia swobody. Obszar krytyczny testu jest prawostronny (odrzucamy $H_0,$ gdy ${\chi }^2>{\chi }_{kryt}^2$).

Testy dla wielu proporcji

Mamy tu $k$ prób o liczebnościach $n_1,n_2,\dots n_k.$ W i-tej próbie $m_i$ elementów spełnia zadany warunek, zatem proporcja w i-tej próbie jest równa $p_i=\frac{m_i}{n_i}.$

Testujemy hipotezy:

$H_0:p_1=\dots =p_k$ (wszystkie proporcje w populacjach są jednakowe),

$H_1:𝐧𝐢𝐞H_0$ (proporcje w poszczególnych populacjach różnią się).

Próby niezależne

Test Fishera-Snedecora

Jeżeli wszystkie liczebności $n_i⩾20$ to można wyznaczyć statystykę o rozkładzie Fishera-Snedecora. Obliczamy najpierw „średnią proporcję”

$\overline{p}=\frac{\sum _{i=1}^k{n}_i{p}_i}{\sum _{i=1}^k{n}_i}$

oraz

$F=\frac{\sum _{i=1}^k{n}_i(p_i-\overline{p}{)}^2}{\sum _{i=1}^k{p}_i(1-p_i)}\cdot \frac{k}{k-1}.$

Otrzymaną wartość statystyki F porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu Fishera-Snedecora dla założonego poziomu istotności $\alpha$ oraz liczby stopni swobody ${\nu }_1=k-1$ i ${\nu }_2=\mathrm{\infty }.$ Obszar krytyczny jest prawostronny, czyli gdy $F>F_{kryt}$ – odrzucamy hipotezę $H_0.$

Próby zależne

Jeżeli mamy do czynienia z $k$ zależnymi próbami (seriami wyników) o jednakowej liczebności $n$ każda (np. $n$ osób jest poddawanych $k$ razy badaniu, którego wynik klasyfikujemy w kategoriach: tak, nie), przy czym liczebności są $n⩾20,$ możemy wykorzystać test Cochrana do stwierdzenia, czy wyniki w poszczególnych doświadczeniach różnią się istotnie:

$H_0:$ wyniki poszczególnych serii nie różnią się istotnie,

$H_1:$ wyniki różnią się (zmiana warunków eksperymentu wpływa na wyniki).

Niech:

• $m_i$ oznacza, jak poprzednio, liczbę obiektów w i-tej próbie, które spełniają warunek (wynik Tak), to znaczy $i=1,2,\dots k,$ zaś $0⩽m_i⩽n,$
• $w_j$ oznacza liczbę prób, w których j-ty obiekt uzyskał wynik Tak – to znaczy $j=1,2,\dots n$ oraz $0⩽w_j⩽k.$

Obliczamy statystykę

${\chi }^2=\frac{(k-1)\left[k\sum _{i=1}^k{m}_i^2-{\left(\sum _{i=1}^k{m}_i\right)}^2\right]}{k\sum _{j=1}^n{w}_j-\sum _{j=1}^n{w}_j^2},$

którą porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat dla poziomu istotności $\alpha$ i $\nu =k-1$ stopni swobody. Obszar krytyczny testu jest prawostronny.

Bibliografia

• Fisher R.A., Yates F., Statistical tables for biological, agricultural and medical research, Oliver and Boyd, Edinburgh 1963.
• Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.

Linki zewnętrzne

• Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładów: normalnego, Studenta, chi-kwadrat oraz F (Fishera-Snedeccora)