Twierdzenie Picarda

Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda-Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy’ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy’ego.

Twierdzenie

Załóżmy, że $\mathrm{\Omega }\subseteq ℝ\times ℝ$ jest obszarem otwartym na płaszczyźnie oraz funkcja $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ jest ciągła na zbiorze $\mathrm{\Omega }$ i spełnia warunek Lipschitza ze względu na drugą zmienną. Tak więc, dla pewnej stałej $L$ mamy, że

$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|⩽L|y_1-y_2|$

ilekroć $(x,y_1),(x,y_2)\in \mathrm{\Omega }.$

Niech $(x_0,y_0)\in \mathrm{\Omega }.$ Wówczas dla pewnego $\delta >0,$ zagadnienie początkowe

$y^{\prime }=f(x,y)$

$y(x_0)=y_0$

ma dokładnie jedno rozwiązanie $y=\phi (x)$ określone na przedziale $(x_0-\delta ,x_0+\delta ).$

Uogólnienie na przestrzenie Banacha

Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej przestrzeni Banacha.

Lokalny warunek Lipschitza

Niech $Y$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $D\subseteq ℝ\times Y$ będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja $f:D\to Y$ spełnia lokalny warunek Lipschitza na zbiorze $D$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt $(x_0,u_0)\in D$ ma otoczenie, na którym $f$ spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.

Twierdzenie Picarda

Niech $Y$ będzie przestrzenią Banacha oraz $D\subseteq ℝ\times Y$ będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja $f:D\to Y$ jest ciągła oraz spełnia lokalny warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej na zbiorze $D,$ to

• każde rozwiązanie równania $u^{\prime }=f(x,u)$ daje się przedłużyć do rozwiązania globalnego,
• każde rozwiązanie globalne powyższego równania jest funkcją określoną na przedziale otwartym,
• dla każdego punktu $(x_0,u_0)\in D$ istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne spełniające warunek początkowy $u(x_0)=u_0.$

Globalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań

Korzystając z twierdzenia Picarda można dowieść globalnego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych, znane również jako twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania wysyconego. Poza faktem istnienia oraz jedyności rozwiązania opisuje ono również jego zachowanie.

Twierdzenie

Niech $J\subseteq ℝ$ będzie odcinkiem otwartym, zaś $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ będą zbiorami otwartymi. Niech $f:J\times \mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ będzie ciągłą funkcją spełniającą lokalny jednostajny warunek Lipschitza ze względu na drugą współrzędną, tj. dla dowolnego $(t_0,x_0)\in J\times \mathrm{\Omega }$ istnieją zbiory otwarte $U\subseteq J$ i $V\subseteq \mathrm{\Omega }$ takie, że:

$U\subseteq \text{cl}(U)\subseteq J$ i $V\subseteq \text{cl}(V)\subseteq \mathrm{\Omega },$

$(t_0,x_0)\in U\times V,$

$\mathrm{\exists }L>0\mathrm{\forall }t\in U\mathrm{\forall }x,y\in V\Vert f(t,x)-f(t,y)\Vert ⩽L\Vert x-y\Vert .$

Wówczas dla każdego $(t_0,x_0)\in J\times \mathrm{\Omega }$ istnieje dokładnie jedno nierozszerzalne rozwiązanie $u:I\to \mathrm{\Omega }$ zagadnienia Cauchy’ego:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)=f(t,x(t)),\\ x(t_0)=x_0.\end{array}$

Ponadto maksymalny odcinek $I=(a,b)$ istnienia rozwiązania jest otwarty i zachodzi następująca alternatywa:

$\inf J=a$   i   $\sup J=b$

lub

jeśli   $a>\inf J,$   to   $\underset{t\to a}{\lim }\min \{\mathrm{dist}(u(t),\partial \mathrm{\Omega }),\Vert u(t){\Vert }^{-1}\}=0,$

jeśli   $b<\sup J,$   to   $\underset{t\to b}{\lim }\min \{\mathrm{dist}(u(t),\partial \mathrm{\Omega }),\Vert u(t){\Vert }^{-1}\}=0.$

Zobacz też

• twierdzenie Peana

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj stronę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld