Twierdzenie Peana

Twierdzenie Peana – twierdzenie o istnieniu rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego dla ciągłego odwzorowania podzbioru $I\times {ℝ}^n\to {ℝ}^n.$ Opublikowane przez Giuseppe Peana w 1886 z błędnym dowodem. W 1890 dowód został przeprowadzony poprawnie przy użyciu metod aproksymacyjnych (zob. metoda Eulera). Obecnie, twierdzenia dowodzi się przy użyciu twierdzenia Schaudera o punkcie stałym i kryterium zwartości Ascoliego-Arzeli.

Twierdzenie

Niech $I=[a,b]$ i niech $f:I\times {ℝ}^n\to {ℝ}^n.$ Jeżeli istnieje kula $k(\eta ,r)\subset {ℝ}^n$ taka, że $f{|}_{I\times k(\eta ,r)}$ jest ciągłe, to istnieje $\alpha >0$ takie, że zagadnienie Cauchy’ego:

$\{\begin{array}{c}{y}^{\prime }=f(y,x)\\ y(\tau )=\eta \end{array}$

ma przynajmniej jedno rozwiązanie w przedziale $(\tau -\alpha ,\tau +\alpha ).$

Zobacz też

• twierdzenie Picarda

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę