Własność skończonych przekrojów

Własność skończonych przekrojów – własność rodzin zbiorów rozważana i używana głównie w topologii i teorii mnogości.

Definicja formalna

Mówimy, że rodzina zbiorów $𝒜$ ma własność skończonych przekrojów jeśli przekrój dowolnej skończonej podrodziny jest niepusty. Innymi słowy, $𝒜$ ma własność skończonych przekrojów jeśli dla dowolnych $A_0,\dots ,A_n\in 𝒜,$ $n\in \mathbb{N},$ mamy, że $A_0\cap \dots \cap A_n\ne \mathrm{\varnothing }.$

Często zamiast mówić, że $𝒜$ ma własność skończonych przekrojów stwierdza się, że $𝒜$ ma fip, używając skrótu od Szablon:Ang..

Przykłady, własności, zastosowanie

• Następujące rodziny zbiorów mają własność skończonych przekrojów:

(i) $𝒜=\{A_0,A_1,A_2,\dots \}$ gdzie $A_0\supseteq A_1\supseteq A_2\supseteq \dots$ są zbiorami niepustymi,

(ii) $ℬ=\{[r,\mathrm{\infty }):r\in ℝ\},$

(iii) rodzina tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, które mają dopełnienie skończone,

(iv) rodzina tych borelowskich podzbiorów odcinka $[0,1]$ które mają miarę Lebesgue’a 1.

• Jeśli $𝒜$ jest rodziną podzbiorów zbioru $X$ z własnością skończonych przekrojów, to zbiór

$ℱ=\{A\subseteq X:A_0\cap \dots \cap A_n\subseteq A$ dla pewnych $A_0,\dots ,A_n\in 𝒜,$ $n\in \mathbb{N}\}$

jest filtrem podzbiorów $X.$ Ponadto, istnieje filtr maksymalny (ultrafiltr) podzbiorów $X$ zawierający $𝒜.$ (To ostatnie stwierdzenie wymaga pewnej formy AC).

• Przypuśćmy, że $(X,\tau )$ jest przestrzenią topologiczną. Wówczas

(a) $X$ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda rodzina domkniętych podzbiorów $X$ która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój,

(b) $X$ jest przeliczalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów $X$ która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój.

Zobacz też

• filtr
• przestrzeń przeliczalnie zwarta
• przestrzeń zwarta