Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa

Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa – jeden z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym ujęciu oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte. Twierdzenie to jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Heinego-Borela, głoszącego, że podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony oraz z równoważności zwartości ze zwartością ciągową w przestrzeniach metryzowalnych.

Twierdzenie było najpierw udowodnione przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzana, ale jego praca pozostała niezauważona. Twierdzenie było później ponownie odkryte i udowodnione przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa.

Twierdzenie

Z każdego ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych $(c_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ można wybrać podciąg zbieżny, tzn. można wybrać rosnący ciąg indeksów $n_0,n_1,n_2,n_3,\dots ,n_k$ tak, że ciąg $(c_{n_k}{)}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ jest zbieżny.

Dowody

Pierwszy

Załóżmy, że $(c_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ jest ciągiem liczb rzeczywistych, $a<b$ oraz $a<c_n<b$ dla wszystkich $n.$ Indukcyjnie wybieramy liczby $a_k,b_k\in [a,b]$ oraz liczby naturalne $n_k,$ tak że dla każdego $k$ mamy

• $n_0=0,$ $a_0=a,$ $b_0=b,$
• $n_k<n_{k+1},$ $a_k⩽a_{k+1}⩽c_{n_{k+1}}⩽b_{k+1}⩽b_k,$
• $b_k-a_k=(b-a)\cdot 2^{-k},$
• zbiór $\{n:c_n\in [a_k,b_k]\}$ jest nieskończony.

Pierwszy warunek powyżej definiuje $n_0,a_0,b_0.$ Przypuśćmy, że wybraliśmy już $n_k,a_k,b_k$ tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech $d=\frac{a_k+b_k}{2}.$ Jeśli zbiór $\{n:c_n\in [a_k,d]\}$ jest nieskończony, to połóżmy $a_{k+1}=a_k,$ $b_{k+1}=d$ i wybierzmy $n_{k+1}>n_k$ tak że $a_{k+1}⩽c_{n_{k+1}}⩽b_{k+1}.$ Jeśli zbiór $\{n:c_n\in [a_k,d]\}$ jest skończony, to wtedy zbiór $\{n:c_n\in [d,b_k]\}$ musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy, że $a_{k+1}=d,$ $b_{k+1}=b_k$ i wybieramy $n_{k+1}>n_k$ tak że $a_{k+1}⩽c_{n_{k+1}}⩽b_{k+1}.$

Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy, że ciąg $(c_{n_k}{)}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ jest ciągiem Cauchy’ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.

Drugi

Załóżmy, że $(c_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych i niech $L=\inf \{c_n:n\},$ $R=\sup \{c_n:n\},$ $M=(R+L)/2$ i niech $\mathrm{\Delta }=[L,R].$

Niech teraz ${\mathrm{\Delta }}_{ϵ}=[L_{ϵ},R_{ϵ}]$ będzie rodziną podprzedziałów przedziału $\mathrm{\Delta }$ indeksowaną skończonymi ciągami zero-jedynkowymi określoną wzorami:

${\mathrm{\Delta }}_{⟨0⟩}=[L,M],{\mathrm{\Delta }}_{⟨1⟩}=[M,R]$ oraz ${\mathrm{\Delta }}_{ϵ⟨0⟩}=[L_{ϵ},M_{ϵ}]$ i ${\mathrm{\Delta }}_{ϵ⟨1⟩}=[M_{ϵ},R_{ϵ}],$

gdzie $M_{ϵ}=(L_{ϵ}+R_{ϵ})/2.$

Łatwo zauważyć, że długość przedziału ${\mathrm{\Delta }}_{ϵ}$ równa jest $(R-L)/2^n,$ gdzie $n$ jest długością ciągu $ϵ$ oraz dla dowolnych dwóch ${ϵ}^{\prime },$ ${ϵ}^{″}$

${\mathrm{\Delta }}_{{ϵ}^{″}}\subseteq {\mathrm{\Delta }}_{{ϵ}^{\prime }}$

wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ${ϵ}^{\prime }$ jest początkiem ciągu ${ϵ}^{″}.$

Łatwo też widać, że istnieje nieskończony rosnący ciąg indeksów $({ϵ}_n{)}_n,$ dla którego każdy z przedziałów ${\tilde{\mathrm{\Delta }}}_n={\mathrm{\Delta }}_{{ϵ}_n},$ $n\in N$ zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu $(c_n{)}_n.$

Niech teraz $n_0=0$ oraz $n_{k+1}=\min \{m>n_k:c_m\in {\tilde{\mathrm{\Delta }}}_k\}.$ Wówczas $(n_k{)}_k$ jest ściśle rosnący oraz $c_{n_k}\in {\tilde{\mathrm{\Delta }}}_k.$

Pokażemy, że ciąg $c_{n_k}$ jest zbieżny do $L^{\star }=\sup \{{\tilde{L}}_n:n\in N\},$ gdzie ${\tilde{L}}_n=L_{{ϵ}_n}.$

Niech zatem $\epsilon >0$ i niech $N$ będzie takie, że $1/2^N<\epsilon /2$ oraz niech $K$ będzie takie, że $L^{\star }-\epsilon /2<{\tilde{L}}_K⩽L^{\star }.$

Biorąc teraz $k⩾\max \{N,K\}$ mamy:

$|c_{n_k}-L^{\star }|<|c_{n_k}-{\tilde{L}}_k|+|{\tilde{L}}_k-L^{\star }|=|c_{n_k}-{\tilde{L}}_k|+(L^{\star }-{\tilde{L}}_k)⩽1/2^k+(L^{\star }-{\tilde{L}}_K)<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon$

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu $(c_{n_k}{)}_k$ do $L^{\star }.$

Trzeci

Niech $(c_n{)}_n$ będzie takim ciągiem jak do tej pory, niech $L=\inf \{c_n:n\},$ $R=\sup \{c_n:n\}$ i niech $d=(R-L)/2.$

Niech dalej $M_0=(L+R)/2$ oraz niech $M_{k+1}=M_k-d/2^{k+1}$ jeśli zbiór $\{n:M_k-d/2^k⩽c_n⩽M_k\}$ jest nieskończony oraz $M_{k+1}=M_k+d/2^{k+1}$ w przeciwnym wypadku. Wykażemy indukcyjnie, że przedziały ${\mathrm{\Delta }}_k=[M_k-d/2^k,M_k+d/2^k]$ zawierają nieskończenie wiele elementów ciągu $(c_n{)}_n.$

Ponieważ dla $k=0,$ mamy ${\mathrm{\Delta }}_0=[M_0-d,M_0+d]=[L,R],$ baza indukcji jest prawdziwa.

Załóżmy zatem, że dla pewnego $k$ przedział ${\mathrm{\Delta }}_k=[M_k-d/2^k,M_k+d/2^k]$ zawiera nieskończenie wiele elementów ciągu $(c_n{)}_n.$ Jeśli zbiór $\{n:M_k-d/2^k⩽c_n⩽M_k\}$ jest nieskończony, to $M_{k+1}=M_k-d/2^{k+1}$ i wówczas ${\mathrm{\Delta }}_{k+1}=[M_{k+1}-d/2^{k+1},M_{k+1}+d/2^{k+1}]=[M_k-d/2^k,M_k],$ czyli zawiera nieskończenie wiele elementów rozważanego ciągu.

Jeśli zbiór $\{n:M_k-d/2^k⩽c_n⩽M_k\}$ nieskończony nie jest, to musi być nieskończony $\{n:M_k⩽c_n⩽M_k+d/2^k\},$ na mocy założenia indukcyjnego i wówczas $M_{k+1}=M_k+d/2^{k+1}$ oraz ${\mathrm{\Delta }}_{k+1}=[M_{k+1}-d/2^{k+1},M_{k+1}+d/2^{k+1}]=[M_k,M_k+d/2^k],$ co dopełnia dowód kroku indukcyjnego.

Niech teraz $m_0=0$ i niech $m_{k+1}=\min \{n>m_k:c_n\in {\mathrm{\Delta }}_{k+1}\}.$ $(c_{m_n}{)}_n$ jest podciągiem ciągu $(c_n{)}_n.$ Ciąg $L_n=M_n-d/2^n$ jest rosnący i ograniczony, więc posiada supremum $L^{\star }.$ Pokażemy, że $L^{\star }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_{m_n}.$

Niech w tym celu $\epsilon >0$ i niech $N$ będzie takie, że $1/2^N<\epsilon /2$ oraz niech $K$ będzie takie, że $L^{\star }-\epsilon /2<L_K⩽L^{\star }.$

Biorąc teraz $n⩾\max \{N,K\}$ mamy:

$|c_{m_n}-L^{\star }|<|c_{m_n}-L_n|+|L_n-L^{\star }|=(c_{m_n}-L_n)+(L^{\star }-L_n)⩽1/2^n+(L^{\star }-L_K)<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon$

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu $(c_{m_n}{)}_n$ do $L^{\star }.$

Zauważmy, że $L^{\star }$ jest także granicą ciągów $(M_n{)}_n$ oraz $R_n=M_n+d/2^n.$

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Bolzano-Weierstrass theorem, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-07-09].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-10-09].

Szablon:Kontrola autorytatywna