Przestrzeń Frécheta (topologia)

Przestrzeń Frécheta (także przestrzeń Frécheta-Uryshona) – w topologii ogólnej, przestrzeń topologiczna $X$ o tej własności, że dla każdego podzbioru $A\subseteq X,$ punkt $x\in X$ należy do domknięcia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą ciągu elementów zbioru $A,$ tj. istnieje taki ciąg

$x_1,x_2,x_3,\dots \in A,$

że

$x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$Szablon:Odn.

Nazwa pojęcia

Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska francuskiego matematyka Maurice’a Frécheta, który rozważał abstrakcyjne struktury topologiczne zdefiniowane w terminach ciągów zbieżnych. W matematyce istnieją także inne znaczenia terminu przestrzeń Frécheta (dawniej określano nim przestrzenie T₁; w analizie funkcjonalnej termin ten funkcjonauje w kontekście pewnej klasy przestrzeni liniowo-topologicznych).

Własności

• Każda przestrzeń spełniająca pierwszy aksjomat przeliczalności jest przestrzenią FréchetaSzablon:Odn.
• Podprzestrzeń przestrzeni Frécheta jest przestrzenią FréchetaSzablon:Odn.
• Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni Frécheta nie musi być przestrzenią FréchetaSzablon:Odn.
• Każde przekształcenie ilorazowe $f:X\to Y$ na przestrzeń Frécheta $Y,$ w której każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę (a więc w szczególności na T₂-przestrzeń Frécheta), jest dziedzicznie ilorazoweSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę