Rozkład biegunowy operatora

Rozkładem biegunowym operatora działającego w przestrzeni Hilberta $H$ nazywamy takie przedstawienie operatora $a=u\cdot r,$ dla którego

• operator $r$ jest operatorem dodatnim
• $u=0$ na jądrze operatora $a^{\star }$
• $u$ odwzorowuje izometrycznie jądro $a$ na przestrzeń prostopadłą do jądra $a^{\star }.$

Przedstawienie takie jest jednoznaczne.

Motywacja

Rozkład biegunowy operatora jest analogią do rozkładu biegunowego liczby zespolonej, tzn. $z=e^{i\phi }r$ (kolejność analogiczna do powyższego przedstawienia). Komplikacje powyższego rozkładu wynikają stąd, że nie ma czegoś takiego jak operator fazy, tzn. nie można napisać $\hat{a}=e^{i\hat{\phi }}\hat{r}$ – oznaczenia operatorów zostały dodane dla podkreślenia, że mamy do czynienia nie z liczbami, a operatorami działającymi w przestrzeni Hilberta (a więc przestrzeni wektorowej), której wymiar w ogólności może być nieskończony.

Szkic dowodu

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Dany jest operator ograniczony $a\in ℬ(H).$ Operator $a^{\star }a$ jest dodatni (a zatem samosprzężony). Widmo $a^{\star }a$ jest podzbiorem $[0,\mathrm{\infty }).$ Stosując ciągły rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych, można zdefiniować operator

$r=\sqrt{a^{\star }a}.$

W szczególności $r^{\star }=r,$ co oznaczam iż dla każdego $\xi \in H$ zachodzi równość

$\Vert r\xi {\Vert }^2=⟨r\xi ,r\xi ⟩=⟨\xi ,r^2\xi ⟩=⟨\xi ,a^{\star }a\xi ⟩=⟨\xi ,a\xi ⟩=\Vert a\xi {\Vert }^2.$

Na mocy tożsamości polaryzacyjnej obrazy $r(H)$ i $a(H)$ są izometryczne. Istnieje zatem taka częściowa izometria $u,$ że

$a=ur.$

Przykłady

• Rozkład biegunowy macierzy odpowiadającej grupie Lorentza bez odbić przestrzennych daje obrót jako (częściową) izometrię oraz pchnięcie jako operator dodatni.

Zobacz też

• rozkład macierzy