Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Szablon:Spis treści Przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór zdarzeń elementarnych, przestrzeń próbek losowych) – zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego; wyniki te nazywa się zdarzeniami elementarnymi.

Pojęcie zbioru zdarzeń elementarnych należy do podstawowych w rachunku prawdopodobieństwa. Tradycyjnie zbiór ten oznacza się literą $\mathrm{\Omega }.$

Zbiór zdarzeń elementarnych stanowi jeden z trzech elementów modelu probabilistycznego opisującego dane doświadczenie losowe. Pozostałymi elementami są: zbiór zdarzeń losowych $ℱ$ (tj. mierzalnych podzbiorów $\mathrm{\Omega },$ które tworzą tzw. σ-ciało) oraz miara probabilistyczna $P$ (prawdopodobieństwo) przypisana do każdego zdarzenia losowego.

Zbiór zdarzeń elementarnych $\mathrm{\Omega }$ uzupełniony o σ-ciało $ℱ$ tworzy parę $(\mathrm{\Omega },ℱ)$ zwaną przestrzenią mierzalną. Przestrzeń mierzalna $(\mathrm{\Omega },ℱ)$ uzupełniona o miarę probabilistyczną tworzy trójkę $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ zwaną przestrzenią probabilistyczną.

Pomiędzy zdarzeniami elementarnymi a zdarzeniami losowymi istnieje istotna różnica: pierwsze są pojedynczymi elementami ${\omega }_i$ zbioru zdarzeń elementarnych (czyli ${\omega }_i\in \mathrm{\Omega }$), natomiast drugie są podzbiorami zbioru zdarzeń elementarnych – mogą więc zawierać wiele zdarzeń elementarnych, np. zdarzenie $A=\{{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3\}\subseteq \mathrm{\Omega }.$

Przykłady

• Rzut jedną monetą: zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór $\mathrm{\Omega }$ = {Orzeł, Reszka}, przy czym zdarzeniami elementarnymi są Orzeł oraz Reszka.
• Rzut dwiema monetami: zbiór zdarzeń elementarnych ma postać par uporządkowanych $\mathrm{\Omega }$ = {(O, O), (O, R), (R, O), (R,R)}, gdzie oznaczono: O = orzeł oraz R = reszka (na 1. miejscu notujemy wyniki rzutu 1. monetą, a na 2. miejscu wyniki rzutu 2. monetą).
• Rzut n monet: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą n-ki uporządkowane, w których poszczególne elementy mogą przyjmować wartości O lub R.
• Rzut pojedynczą kostką: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą liczby oczek, jakie można otrzymać w pojedynczym rzucie, tj. ${\mathrm{\Omega }}^1=\{1,2,3,4,5,6\}.$
• Rzut dwiema kostkami: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą pary liczb oczek, jakie można otrzymać w pojedynczym rzucie na każdej z kostek, tj. ${\mathrm{\Omega }}^2=\{(1,1),(1,2),\dots ,(1,6),(2,1),(2,2),\dots ,(6,6)\}.$ Zbiór zdarzeń elementarnych jest więc iloczynem kartezjańskim zbioru ${\mathrm{\Omega }}^1,$ tj. ${\mathrm{\Omega }}^2={\mathrm{\Omega }}^1\times {\mathrm{\Omega }}^1.$

Zobacz też

• przestrzeń mierzalna
• przestrzeń probabilistyczna

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę