Rachunek różnicowy

Podstawowe typy różnic skończonych

Trzy typy różnic skończonych: backward (w tył), central (centralna), forward (w przód). Różnica centralna wokół x daje najlepsze przybliżenie pochodnej funkcji w punkcie $x$.

Podstawowym pojęciem rachunku różnicowego jest pojęcie różnic skończonych. Rozważa się trzy podstawowe typy różnic skończonych: różnica w przód, różnica w tył oraz różnica centralna.

Różnica w przód ${\mathrm{\Delta }}_h[f]$ dla funkcji $f$ używa wartości funkcji w punktach $x+h$ i $x$:

${\mathrm{\Delta }}_h[f](x)=f(x+h)-f(x)$

W zależności od zastosowania odległość $h$ może być zmienna lub stała.

Gdy nie jest podane, $h$ domyślnie przyjmuje wartość 1, czyli

$\mathrm{\Delta }[f](x)={\mathrm{\Delta }}_1[f](x)=f(x+1)-f(x)$

Różnica w tył ${\mathrm{\nabla }}_h[f]$ używa wartości funkcji w punktach $x$ i $x-h$, zamiast wartości w punktach $x+h$ i $x$:

${\mathrm{\nabla }}_h[f](x)=f(x)-f(x-h)={\mathrm{\Delta }}_h[f](x-h)$

Różnica centralna ${\delta }_h[f]$ określona wzorem:

${\delta }_h[f](x)=f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2})$

$={\mathrm{\Delta }}_{h/2}[f](x)+{\mathrm{\nabla }}_{h/2}[f](x)$

Pochodna funkcji jednej zmiennej i wzór różnicowy

Pochodną funkcji zmiennej rzeczywistej $F:ℝ\to ℝ$ pochodną definiuje się za pomocą granicy ilorazu różnicowego

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

W matematyce dyskretnej odpowiednikiem tego wzoru jest wzór różnicowy:

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_h[f](x)}{h}$

Różnice skończone dla funkcji wielu zmiennych

Oblicza się także różnice skończone w przypadku funkcji wielu zmiennych; są one dyskretnym odpowiednikiem pochodnych cząstkowych. Np. dla pochodnych pierwszego i drugiego rzędu mamy następujące wzory:

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\approx \frac{f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}$

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\approx \frac{f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}$

$\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial x^2}\approx \frac{f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^2}$

$\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial y^2}\approx \frac{f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^2}$

$\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}\approx \frac{f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}$

Rachunek różnicowy na funkcjach ze zbioru liczb naturalnych

W przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej $F:ℝ\to ℝ$ pochodną definiuje się jako

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

W dziedzinie ciągów liczbowych czy w kombinatoryce operujemy na funkcjach o dziedzinie liczb naturalnych, $F:\mathbb{N}\to ℝ.$ W tym przypadku do wartości $f(x)$ możemy się zbliżyć najbliżej na odległość równą 1, czyli obliczamy $f(x+1).$ Dlatego $\mathrm{\Delta }f(x)=f(x+1)-f(x).$

Odpowiednikiem funkcji potęgowej o wykładniku całkowitym jest tu tzw. potęga krocząca ubywająca $x^{\underset{\_}{m}}$ lub przyrastająca $x^{\bar{m}}.$ Działanie operatora $\mathrm{\Delta }$ na funkcję $x^{\underset{\_}{m}}$ daje w wyniku:

$\mathrm{\Delta }(x^{\underset{\_}{m}})=(x+1{)}^{\underset{\_}{m}}-x^{\underset{\_}{m}}=m{x}^{\underset{\_}{m-1}}.$

Jest to wzór analogiczny do pochodnej funkcji potęgowej $D(x^m)=m{x}^{m-1}.$

Operator $\mathrm{\Delta },$ podobnie jak operator $D$ jest przekształceniem liniowym:

$\mathrm{\Delta }(f+g)=\mathrm{\Delta }(f)+\mathrm{\Delta }(g),$

$\mathrm{\Delta }(cf)=c\mathrm{\Delta }(f).$

Istnieje operacja odwrotna do różnicowania – jest to sumowanie, dyskretna analogia całki. Występuje ona również w wersji nieoznaczonej i oznaczonej. W szczególności

$\sum x^{\underset{\_}{m}}\delta x=\{\begin{array}{c}\frac{x^{\underset{\_}{m+1}}}{m+1}m\ne -1\\ H_{x}m=-1\end{array},$

co przypomina wzór na całkę $\int x^{m}dx.$

Przekształcenie Abela jest dyskretnym odpowiednikiem całkowania przez części.

Zobacz też

• matematyka dyskretna

Bibliografia

W języku polskim

• Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne Podręczniki akademickie Elektronika, informatyka, telekomunikacja, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1982, s. 285–312.
• D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, fizyka komputerowa, Warszawa: PWN, 1982, s. 19–43.
• J. Szmelter, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa: PWN, 1980, s. 150–157.
• A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, Warszawa: PWN, 1971.

W innych językach

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Finite-difference calculus Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
• Matematyka dyskretna