Proces stacjonarny

Dwie symulacje procesów, jeden (górny) stacjonarny, drugi niestacjonarny.

Proces stacjonarny – proces stochastyczny, w którym wszystkie momenty oraz momenty łączne są stałe.

Gdy wartość średnia, wariancja oraz funkcja autokorelacji zmieniają się wraz ze zmianą czasu, proces losowy $x(t)$ nazywa się niestacjonarnym. W szczególnym przypadku, gdy wartość średnia oraz funkcja autokorelacji nie zależą od czasu $t_1,$ proces losowy $x(t)$ nazywa się słabo stacjonarnym, kowariancyjnie stacjonarnym lub stacjonarnym w szerszym zakresie. Średnia wartość słabo stacjonarnych procesów jest stała, a funkcja autokorelacji zależy tylko od przesunięcia $\tau .$

W matematyce proces stacjonarny (lub proces ściśle stacjonarny) – proces stochastyczny, dla którego rozkłady gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej $X$ nie zmieniają się wraz z przesunięciem w czasie lub przestrzeni. W efekcie, parametry takie jak średnia i wariancja także nie ulegają zmianie wraz z przesunięciem w czasie lub przestrzeni.

Przykładem procesu stacjonarnego jest proces szumu białego. Procesem niestacjonarnym jest zaś proces jednokrotnego uderzenia w talerze perkusyjne, gdzie moc akustyczną kolizji zmniejsza się wraz z upływem czasu.

Dyskretny w czasie proces stacjonarny, gdzie przestrzeń zdarzeń jest także dyskretna (zmienna losowa może przyjmować jedną z $N$ możliwych wartości) jest znany jako schemat Bernoulliego. Jeśli $N=2,$ proces jest nazywany procesem Bernoulliego.

Słaba stacjonarność (stacjonarność w szerszym sensie)

O słabszej formie stacjonarności często mówi się w przypadku problemów związanych z przetwarzaniem sygnałów. Słaba stacjonarność jest także znana jako stacjonarność kowariancyjna, stacjonarność w szerszym sensie lub stacjonarność rzędu dwa. Warunkiem stacjonarności w szerszym sensie procesu losowego jest tylko to, aby pierwszy i drugi moment nie zmieniał się w czasie.

Ciągły w czasie proces losowy $x(t),$ który jest stacjonarny w szerszym sensie ma nałożone następujące ograniczenia na jego wartość średnią:

1. $𝔼\{x(t)\}=m_x(t)=m_x(t+\tau )\mathrm{\forall }\tau \in ℝ$

i funkcję korelacji:

2. $𝔼\{x(t_1)x(t_2)\}=R_x(t_1,t_2)=R_x(t_1+\tau ,t_2+\tau )=R_x(t_1-t_2,0)\mathrm{\forall }\tau \in ℝ$

Pierwsza własność implikuje stałość wartości średniej $m_x(t).$ Druga własność implikuje zależność wartości funkcji korelacji wyłącznie od różnicy pomiędzy $t_1$ i $t_2$ i jest funkcją tylko jednej zmiennej (przesunięcia). Czasami zamiast zapisu:

$R_x(t_1-t_2,0)$

upraszcza się notację i zapisuje następująco:

$R_x(\tau ),$ gdzie $\tau =t_1-t_2.$