Dynamika (robotyka)

Dynamika (z gr. δύναμις ‘siła’) – zależność pomiędzy przyspieszeniem, prędkością i położeniem a strukturą robota.

Wzór na dynamikę uzyskuje się z równań Eulera-Lagrange’a oraz równań Hamiltona. Przyjmuje on postać:

$M(q)\ddot{q}+C(q,\dot{q})\dot{q}+D(q)+T(q)=F+u,$ gdzie:

1. $q,\dot{q},\ddot{q}$ – to położenie, prędkość oraz przyspieszenie,
2. $M(q)$ – macierz bezwładności,
3. $C(q,\dot{q})$ – macierz sił odśrodkowych i Coriolisa,
4. $D(q)$ – macierz grawitacji,
5. $T(q)$ – macierz tarcia,
6. $F+u$ – siły działające na układ.

Najczęściej pomija się siły tarcia oraz przyjmuje, że prawa strona równania przyjmuje postać $u$ (w przypadku robotów mobilnych prawa strona równania przyjmuje postać $A^T(q)\lambda +B(q)u$).

Sztywny manipulator

Ponieważ energia potencjalna manipulatora pochodzi od oddziaływania pola grawitacyjnego w celu obliczenia energii ramienia i-tego (wraz z układem napędowym), można je potraktować jako masę punktową $m_i$ skupioną w środku masy ramienia. Wobec tego nasz model dynamiki manipulatora wygląda następująco:

$M(q)\ddot{q}+C(q,\dot{q})\dot{q}+D(q)=u.$

Manipulator o elastycznych przegubach

W tym przypadku musimy uwzględnić fakt, że z każdym stopniem swobody jest związany układ napędowy co wprowadza nam elastyczność w przegubach. W takiej sytuacji, do opisu dynamiki manipulatora będą potrzebne współrzędne uogólnione $q_1$ określające położenia przegubów, oraz $q_2,$ które definiują położenia wałów silników napędzających. Model manipulatora elastycznego przyjmuje następującą postać:

$M(q_1)\dot{q_1}+C(q_1,\dot{q_1})\dot{q_1}+D(q_1)+K(q_1-q_2)=0,$

$I\ddot{q_2}+K(q_2-q_1)=u,$

gdzie:

$I$ – macierz bezwładności silników,

$K$ – macierz współczynników elastyczności (patrz: ruch harmoniczny).

Robot mobilny

Dynamika robota mobilnego przyjmuje postać:

$M(q)\ddot{q}+C(q,\dot{q})\dot{q}+D(q)+T(q)=A^T(q)\lambda +B(q)u.$

Stosując wzór na ograniczenia Pfaffa

$A(q)\dot{q}=0$

oraz bezdryfowy układ sterowania

$\dot{q}=G(q)\eta ,$

możemy przekształcić wzór na prostszą postać. Przede wszystkim wyznaczamy drugą pochodną $q$ po $t,$ tj.

$\ddot{q}=\dot{G}(q)\eta +G(q)\dot{\eta }.$

Następnie korzystając z faktu, iż macierz G(q) skonstruowana jest tak, aby $A(q)G(q)=0,$ wymnażamy równanie lewostronnie przez $G^T(q).$ Ostatecznie otrzymujemy:

$\tilde{M}(q)\dot{\eta }+\tilde{C}(q)\eta +\tilde{D}(q)=\tilde{B}u.$

Tym samym dochodzimy do tego podobnego wzoru, co w przypadku manipulatorów sztywnych. Możemy dzięki temu stosować algorytmy sterowania. Szablon:Wikisłownik