Równanie czwartego stopnia

Z testwiki

Wersja z dnia 23:26, 11 lis 2024 autorstwa 2a01:112f:4603:4500:e981:98:2ef7:1b2d (dyskusja) (→Znajdowanie wszystkich pierwiastków)

(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)

Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wykres przykładowej funkcji czwartego stopnia $y = 7 x^{4} + 9 x^{3} - 24 x^{2} - 28 x + 48$

Równanie czwartego stopnia – równanie algebraiczne postaci $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + h = 0,$ przy $a \neq 0 .$

Rys historyczny

W 1540 r. Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Niccola Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolama Cardana w Ars Magna w 1545 r.

Najprostsze przypadki równań

W pewnych przypadkach równanie

można rozwiązać prostszymi metodami.

Równanie dwukwadratowe

Jeśli $b = d = 0,$ czyli gdy Szablon:LinkWzór jest postaci

to jest to równanie dwukwadratowe (bikwadratowe). Aby je rozwiązać, trzeba podstawić $t = x^{2} .$

Wówczas otrzymuje się równanie kwadratowe $a t^{2} + c t + h = 0,$ które rozwiązuje się, używając formuły kwadratowej.

Równanie zwrotne

Jeśli $b = d$ oraz $a = h,$ czyli gdy Szablon:LinkWzór jest postaci

to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez $x^{2}$ i otrzymując

a (x^{2} + x^{- 2}) + b (x + x^{- 1}) + c = 0 .

Podstawiając $y = x + x^{- 1},$ otrzymuje się $x^{2} + x^{- 2} = y^{2} - 2$ i równanie kwadratowe:

a (y^{2} - 2) + b y + c = 0,

z którego oblicza się $y,$ a potem wyznacza się $x .$

Równanie ze znanym jednym z pierwiastków

Jeśli znajdzie się jeden pierwiastek $x_{0}$ równania Szablon:LinkWzór, to można na mocy twierdzenia Bézouta podzielić wielomian $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + h$ przez $x - x_{0},$ redukując równanie wyjściowe do równania trzeciego stopnia. Rozwiązując to równanie, można znaleźć wszystkie rozwiązania równania Szablon:LinkWzór.

Redukcja równania ogólnego

Równanie Szablon:LinkWzór jest redukowalne do postaci

Wyjściowe równanie należy podzielić obustronnie przez $a,$ otrzymując:

Następnie stosuje się podstawienie $x = u - \frac{b}{4 a}$ prowadzące do:

Po wymnożeniu otrzymuje się:

(u^{4} - \frac{b}{a} u^{3} + \frac{6 b^{2}}{16 a^{2}} u^{2} - \frac{4 b^{3}}{64 a^{3}} u + \frac{b^{4}}{256 a^{4}})

a po uporządkowaniu zmiennych względem wykładników potęgowych równanie przybiera postać:

Jeśli oznaczy się jako

p = \frac{- 3 b^{2}}{8 a^{2}} + \frac{c}{a},

q = \frac{b^{3}}{8 a^{3}} - \frac{b c}{2 a^{2}} + \frac{d}{a},

r = \frac{- 3 b^{4}}{256 a^{4}} + \frac{c b^{2}}{16 a^{3}} - \frac{b d}{4 a^{2}} + \frac{h}{a},

to równanie Szablon:LinkWzór zostało sprowadzone do postaci:

Tę redukcję można wykonać, stosując schemat Hornera, ponieważ $u = x + \frac{b}{4 a}$ i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z $u,$ to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu $x + \frac{b}{4 a} .$

Rozwiązywanie równania zredukowanego

Równanie zredukowane można rozwiązać analitycznie na kilka sposobów:

Metoda Descartes’a-Eulera

Metoda Descartes’a-Eulera polega na rozwiązywaniu równań postaci

dla $q \neq 0$ (równanie nie jest dwukwadratowe).

Znajdowanie jednego pierwiastka

Wprowadza się trzy zmienne $t, v, w$ spełniające równanie

t + v + w = 2 u .

Wówczas

t^{2} + v^{2} + w^{2} + 2 (t v + t w + v w) = 4 u^{2},

a stąd

{(t^{2} + v^{2} + w^{2})}^{2} + 4 (t^{2} + v^{2} + w^{2}) (t v + t w + v w)

+ 4 (t^{2} v^{2} + t^{2} w^{2} + v^{2} w^{2}) + 8 t v w (t + v + w) = 16 u^{4} .

Mnożąc obie strony Szablon:LinkWzór przez 16 i podstawiając wyrażenia na $u, u^{2}, u^{4}$ dane przez powyższe równania, otrzymuje się:

Każda trójka liczb $t, v, w$ spełniająca równanie Szablon:LinkWzór daje rozwiązanie $u$ równania Szablon:LinkWzór. Jeśli liczby $t, v, w$ spełniają równania

to spełniają one również równanie Szablon:LinkWzór. Jeśli równanie Szablon:LinkWzór przekształci się do

to układ równań Szablon:LinkWzór-Szablon:LinkWzór jest wzorem Viète’a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia, znajduje się pierwiastki $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ „równania rozwiązującego”:

Niech

$t$ będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby $z_{1},$
$v$ będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby $z_{2},$ a
$w$ będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby $z_{3},$ przy którym będzie spełnione równanie Szablon:LinkWzór powyżej (ponieważ $q \neq 0,$ to $z_{3} \neq 0$ i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem). Wówczas liczby $t, v, w$ spełniają równania Szablon:LinkWzór-Szablon:LinkWzór, więc również równanie Szablon:LinkWzór. Otrzymuje się zatem rozwiązanie równania Szablon:LinkWzór:

u_{0} = \frac{t + v + w}{2} .

Znajdowanie wszystkich pierwiastków

„Równanie rozwiązujące”

ma pierwiastki $z_{1}, z_{2}, z_{3} .$

Następnie wyznacza się liczby $t_{1}, v_{1}, w_{1},$ tak że $t^{2} = z_{1},$ $v^{2} = z_{2},$ $w^{2} = z_{3}$ oraz $t v w = - q .$

Wówczas liczby $t_{1}, v_{1}, w_{1}$ spełniają równania Szablon:LinkWzór-Szablon:LinkWzór, a zatem również równanie Szablon:LinkWzór. Otrzymuje się więc

t_{1}^{2} + v_{1}^{2} + w_{1}^{2} = - 2 p

oraz

t_{1}^{2} v_{1}^{2} + t_{1}^{2} w_{1}^{2} + v_{1}^{2} w_{1}^{2} = p^{2} - 4 r,

a stąd

Skoro

(2 u - t_{1} - v_{1} - w_{1}) (2 u - t_{1} + v_{1} + w_{1}) (2 u + t_{1} - v_{1} + w_{1}) (2 u + t_{1} + v_{1} - w_{1})

= [{(2 u - t_{1})}^{2} - {(v_{1} + w_{1})}^{2}] [{(2 u + t_{1})}^{2} - {(v_{1} - w_{1})}^{2}]

= {(4 u^{2} - t_{1}^{2})}^{2} - {(2 u - t_{1})}^{2} {(v_{1} - w_{1})}^{2} - {(2 u + t_{1})}^{2} {(v_{1} + w_{1})}^{2} + {(v_{1}^{2} - w_{1}^{2})}^{2}

= 16 u^{4} - 8 u^{2} (t_{1}^{2} + v_{1}^{2} + w_{1}^{2}) - 16 u t_{1} v_{1} w_{1} + t_{1}^{4} + v_{1}^{4} + w_{1}^{4} - 2 (t_{1}^{2} w_{1}^{2} + t_{1}^{2} v_{1}^{2} + v_{1}^{2} w_{1}^{2})

= 16 (u^{4} + p u^{2} + q u + r),

to dla ostatniej równości używa się równań Szablon:LinkWzór oraz $t_{1} v_{1} w_{1} = - q,$ więc otrzymuje się równanie:

16 (u^{4} + p u^{2} + q u + r) = (2 u - t_{1} - v_{1} - w_{1}) (2 u - t_{1} + v_{1} + w_{1})

\cdot (2 u + t_{1} - v_{1} + w_{1}) (2 u + t_{1} + v_{1} - w_{1}),

więc liczby

u_{1} = \frac{t_{1} + v_{1} + w_{1}}{2},

u_{2} = \frac{t_{1} - v_{1} - w_{1}}{2},

u_{3} = \frac{- t_{1} + v_{1} - w_{1}}{2},

u_{4} = \frac{- t_{1} - v_{1} + w_{1}}{2}

spełniają równanie Szablon:LinkWzór. Są to wszystkie pierwiastki tego równania.

Równanie Szablon:LinkWzór ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie Szablon:LinkWzór ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.

Dowód: Na mocy użytych wcześniej równań otrzymuje się; $(u_{1} - u_{2}) (u_{1} - u_{3}) (u_{1} - u_{4}) (u_{2} - u_{3}) (u_{2} - u_{4}) (u_{3} - u_{4}) = (t_{1}^{2} - v_{1}^{2}) (t_{1}^{2} - w_{1}^{2}) (v_{1}^{2} - w_{1}^{2}),$

gdzie nadal $t_{1}, v_{1}, w_{1}$ są pierwiastkami równania Szablon:LinkWzór.

Metoda Ferrariego

Równanie Szablon:LinkWzór przekształca się do

u^{4} + 2 p u^{2} + p^{2} = p u^{2} - q u - r + p^{2},

a następnie

Wprowadzamy nową niewiadomą $v .$ Dodając do wyrażenia w nawiasie równania Szablon:LinkWzór po lewej stronie $v,$ można zapisać

czyli

Aby po obu stronach powyższego równania były pełne kwadraty, należy wybrać liczbę $v,$ tak aby wyróżnik wielomianu po prawej stronie był zerowy:

Równanie (17) można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem $v$

które można rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii. Zatem przy $v$ będącym rozwiązaniem tego równania, wyrażenie

(p + 2 v) u^{2} - q u + (p^{2} - r + 2 p v + v^{2})

jest pełnym kwadratem i równanie Szablon:LinkWzór zostaje zredukowane do:

(u^{2} + p + v)^{2} = (p + 2 v) {(u - \frac{q}{2 (p + 2 v)})}^{2} .

Powyższe równanie jest więc redukowalne do równań kwadratowych (wystarczy skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów):

(u^{2} - \sqrt{p + 2 v} \cdot u + p + v + \frac{q}{2 \sqrt{p + 2 v}}) (u^{2} + \sqrt{p + 2 v} \cdot u + p + v - \frac{q}{2 \sqrt{p + 2 v}}) = 0 .

Zobacz też

Bibliografia

Sierpiński, Wacław: Zasady algebry wyższej, „Monografie Matematyczne” Tom 11, Rozdział 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki
Równania kwadratowe, sześcienne i czwartego stopnia w serwisie MacTutor History of Mathematics archive Szablon:Lang

Linki zewnętrzne

Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].
Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].

Szablon:Wielomiany

Szablon:Kontrola autorytatywna

Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Równanie_czwartego_stopnia&oldid=2424”

Równania algebraiczne