Baza ortonormalna

Baza ortonormalna – zbiór wektorów $ℰ$ w przestrzeni unitarnej $H$ z iloczynem skalarnym $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ o następujących własnościachSzablon:Odn:

• $\Vert e{\Vert }^2=⟨e,e⟩=1$ dla każdego $e\in ℰ$ (tj. każdy element ma normę 1),
• ortogonalność: $⟨e_1,e_2⟩=0$ dla różnych $e_1,e_2\in ℰ,$
• domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru $ℰ$ jest całą przestrzenią $H.$

Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta.

Uwaga: Baza ortonormalna w algebrze liniowej i w analizie funkcjonalnej nie są pojęciami tożsamymi. W algebrze liniowej warunek domknięcia zastąpiony jest warunkiem jednoznaczności rozkładu:

otoczka liniowa zbioru $ℰ$ jest całą przestrzenią

nie zaś tylko jej domknięcie. Brak operacji domknięcia sprawia, że w typowym przykładzie nieskończnie wymiarowej przestrzeni Hilberta, przestrzeni ${\ell }_2$ wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem, baza ortornomalna jest zbiorem nieprzeliczalnym, kiedy rozpatrywana jest w sensie algebry liniowej (jest ona wtedy pokrewna pojęciu bazy Hamela). Jednocześnie wraz z warunkiem domknięcia jest zbiorem przeliczalnym - jak wskazano w przykładach poniżej.

Przykłady

• Zbiór $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^3.$
• Zbiór $\{(1,0,0,\dots ),(0,1,0,\dots ),(0,0,1,\dots )\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni ${\ell }_2$ wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem.
• Zbiór $\{e^{2\pi in}:n\in \mathbb{Z}\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej $L_2([0,1]).$ Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
• Bazą ortonormalną przestrzeni ${\ell }_2(I),$ gdzie $I$ jest dowolnym zbiorem, jest rodzina $\{e_i:i\in I\},$ gdzie:

$e_i(j)=\{\begin{array}{cc}1& j=i\\ 0& j\ne i\end{array}.$

Podstawowe wzory

Jeżeli $ℰ$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $H,$ to dowolny wektor $h$ tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:

$h=\sum _{e\in ℰ}⟨h,e⟩e.$

Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.

Normę wektora $h$ można wyrazić za pomocą równościSzablon:Odn:

$\Vert h{\Vert }^2=\sum _{e\in ℰ}|⟨h,e⟩{|}^2.$

Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy $ℰ$ jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.

Przestrzeń Hilberta $H$ z bazą $ℰ$ jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią ${\ell }_2(I),$ gdzie $I$ jest dowolnym zbiorem równolicznym z $ℰ.$

Istnienie bazy ortonormalnej

Jeżeli $ℰ$ jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta $H,$ to domknięcie powłoki liniowej zbioru $ℰ$ jest podprzestrzenią liniową $H.$ Zbiór $ℰ$ jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.

Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna, można uzasadnićSzablon:Odn, że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą mocSzablon:Odn. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalnąSzablon:Odn. Istnieją przestrzenie unitarne bez bazy ortonormalnejSzablon:Odn.

Ortogonalizacja

Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-SchmidtaSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Wprowadzenie do baz ortonormalnych, kanał Khan Academy na YouTube, 9 listopada 2021 [dostęp 2024-06-22].