Twierdzenie Napoleona

Twierdzenie Napoleona – twierdzenie geometryczne orzekające, że ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.

Dowód

Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta $△ A B C$ są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz

\frac{| A M |}{| A C |} = \frac{| A N |}{| A B |} = \frac{| C L |}{| B C |} = \frac{\sqrt{3}}{3} .

Stąd

∢ M A N = ∢ C A Z .

Ponieważ

\frac{| A M |}{| A C |} = \frac{| A N |}{| A B |},

więc $△ A M N$ i $△ A C Z$ są podobne. Zatem

| M N | = | C Z | \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} .

Analogicznie pokazujemy, że $△ B L N$ i $△ B C Z$ są podobne, więc

| L N | = | C Z | \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} .

Stąd $| L N | = | M N | .$ Analogicznie pokazujemy, że $| L N | = | L M |,$ więc $△ L M N$ jest równoboczny.