Tensor momentu bezwładności

Tensor momentu bezwładności – tensor drugiego rzędu opisujący moment bezwładności. Występuje on w równaniu wiążącym moment pędu z prędkością kątową dla danego ciała

\vec{L} = \hat{I} \vec{ω},

gdzie:

\vec{L}

– moment pędu,

\hat{I}

– tensor momentu bezwładności,

\vec{ω}

– prędkość kątowa.

Tensor bezwładności zapisany jako macierz wygląda następująco

𝐈 = [\begin{matrix} I_{x x} & I_{x y} & I_{x z} \\ I_{y x} & I_{y y} & I_{y z} \\ I_{z x} & I_{z y} & I_{z z} \end{matrix}] .

Współczynniki diagonalne (leżące na głównej przekątnej) nazywamy momentami głównymi, natomiast pozadiagonalne momentami dewiacji.

Wartości współczynników tensora momentu bezwładności, w przypadku dyskretnego rozkładu masy, definiuje się przez

I_{i j} \overset{d e f}{=} \sum_{k} m_{k} (r_{k}^{2} δ_{i j} - r_{k i} r_{k j}),

gdzie:

δ_{i j}

r_{k 1} = x_{k},

r_{k 2} = y_{k},

r_{k 3} = z_{k},

r_{k}

– odległość punktu od początku układu współrzędnych, spełnia on zależność:

r_{k}^{2} = x_{k}^{2} + y_{k}^{2} + z_{k}^{2} .

Rozpisując powyższy wzór na składowe, otrzymujemy wzory na momenty główne

I_{x x} = \sum_{k} m_{k} (y_{k}^{2} + z_{k}^{2}) = \sum_{k} m_{k} (r_{k}^{2} - x_{k}^{2}),

I_{y y} = \sum_{k} m_{k} (z_{k}^{2} + x_{k}^{2}) = \sum_{k} m_{k} (r_{k}^{2} - y_{k}^{2}),

I_{z z} = \sum_{k} m_{k} (x_{k}^{2} + y_{k}^{2}) = \sum_{k} m_{k} (r_{k}^{2} - z_{k}^{2})

oraz momenty dewiacyjne

I_{x y} = I_{y x} = - \sum_{k} m_{k} x_{k} y_{k},

I_{y z} = I_{z y} = - \sum_{k} m_{k} y_{k} z_{k},

I_{z x} = I_{x z} = - \sum_{k} m_{k} z_{k} x_{k},

gdzie:

x_{k},

y_{k},

z_{k}

k

-tego punktu,

m_{k}

– masa

k

-tego punktu.

Postać dla rozkładu ciągłego z gęstością masy $ρ (x, y, z)$ o objętości $V :$

I_{i j} \overset{d e f}{=} \int_{V} ρ (x, y, z) (r^{2} δ_{i j} - r_{i} r_{j}) d v .

Tensor ten jest tensorem symetrycznym (jego macierz jest symetryczna).

Suma składników diagonalnych jest niezależna od wyboru kierunku osi układu współrzędnych. Dowód dla układu punktów:

I_{x x} + I_{y y} + I_{z z} = \sum_{k} m_{k} (y_{k}^{2} + z_{k}^{2}) + \sum_{k} m_{k} (z_{k}^{2} + x_{k}^{2}) + \sum_{k} m_{k} (x_{k}^{2} + y_{k}^{2}) = 2 \sum_{k} m_{k} r_{k}^{2} .

Zobacz też