Twierdzenie Wilsona

Twierdzenie Wilsona – twierdzenie w teorii liczb. Mówi ono, że liczba naturalna $p>1$ jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy liczba

$(p-1)!+1$

jest podzielna przez $p$.

Twierdzenie zostało odkryte przez Johna Wilsona, będącego studentem Edwarda Waringa. Jednak żaden z nich nie był w stanie go udowodnić. Dopiero w 1773 roku Lagrange dał przekonujący dowód. Istnieją również argumenty mówiące, że to Leibniz był pierwszym, który udowodnił to twierdzenie (chociaż nie opublikował dowodu)Szablon:Fakt.

Twierdzenie to daje potencjalną możliwość sprawdzenia dla każdej liczby naturalnej, czy jest pierwsza. Ponieważ nie są znane efektywne algorytmy obliczania silni, twierdzenia tego nie da się łatwo stosować w badaniu pierwszości liczb.

Dowód

Najpierw załóżmy, że $p$ jest liczbą pierwszą. Twierdzenie zachodzi dla $p=2$ oraz $p=3.$ Więc dodatkowo załóżmy, że $p>3.$ Klasy liczb całkowitych mod $p$ tworzą ciało ${\mathbb{Z}}_p.$ Rozpatrzmy w nim równanie:

$x^2=1.$

Ma ono te same rozwiązania co równanie $x^2-1=0,$ czyli

$(x-1)\cdot (x+1)=0.$

W ciele iloczyn niezerowych czynników jest niezerowy. Więc jedynymi rozwiązaniami powyższego równania są $x=1$ oraz $x=-1$ (w ciele ${\mathbb{Z}}_p,$ dla $p$ różnego od 2, zachodzi nierówność $-1\ne 1$). Wynika stąd, że jedynymi elementami ciała ${\mathbb{Z}}_p,$ które są odwrotne do siebie, są 1 i –1. Zatem zbiór pozostałych niezerowych elementów ciała rozpada się na rozłączne pary elementów $\{x,y\}$ o iloczynie $x\cdot y=1,$ gdzie $x\ne y.$ Stąd wnioskujemy iż iloczyn wszystkich, poza 1 oraz –1, niezerowych elementów ciała, jako iloczyn iloczynów takich par, wynosi 1, co oznacza, że:

$2\cdot \dots \cdot (p-2)\equiv 1modp.$

Po przemnożeniu powyższej kongruencji przez $p-1,$ czyli przez $-1$ (co jest tym samym mod $p$), oraz po dopisaniu nieszkodliwego 1 po lewej, otrzymujemy:

$1\cdot \dots \cdot (p-1)\equiv -1modp,$

czyli $(p-1)!+1$ jest podzielna przez $p.$

Wykażemy teraz twierdzenie przeciwne i w tym celu przypuśćmy, że $p$ jest złożoną liczbą naturalną. Wtedy istnieją takie dzielniki właściwe $a$ oraz $b$ liczby $p,$ że $a\cdot b=p.$ Wtedy $a|(p-1)!.$ Zatem

$a\cdot b|(p-1)!\cdot b$

i stąd (pamiętając, że $p=a\cdot b$)

$(p-1)!\cdot b\equiv 0modp,$

więc

$(p-1)!\cdot b\equiv ̸(-1)\cdot bmodp.$

Tak więc

$(p-1)!\equiv ̸-1modp$

i liczba $(p-1)!+1$ nie jest podzielna przez $p.$

Uogólnienie

Istnieje uogólnienie twierdzenia Wilsona, autorstwa Gaussa:

$\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{a=1}{\mathrm{NWD}(a,m)=1}}^{m}a\equiv \{\begin{array}{cc}-1(\text{mod }m)& \text{gdy }m=4,p^{\alpha },2p^{\alpha },\\ 1(\text{mod }m)& \text{w innych wypadkach},\end{array}$

gdzie $p$ jest liczbą pierwszą większą od 2.

Dla $m=2$ zachodzi

$-1\equiv 1(\text{mod }2),$

więc równie dobrze można dodać $m=2$ do drugiej gałęzi wzoru.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Twierdzenie Wilsona, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 4 października 2017 [dostęp 2024-09-04].