Twierdzenie Cevy

Przypadek 1.: trzy proste mają wspólny punkt O wewnątrz ABC

Przypadek 2.: trzy proste mają wspólny punkt O na zewnątrz ABC

Twierdzenie Cevy – twierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku. Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta.

Treść

Dany jest trójkąt $ABC$ oraz punkty $D\in BC,E\in CA,F\in AB.$ Jeżeli trzy proste $AD,BE$ i $CF$ przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe, to:

$\frac{|AF|}{|FB|}\cdot \frac{|BD|}{|DC|}\cdot \frac{|CE|}{|EA|}=1$

Na drugim z rysunków będących ilustracjami twierdzenia widać, iż punkt przecięcia się prostych $O$ może leżeć poza trójkątem.

Dowód

Przyjmijmy, że:

$x=\frac{|BD|}{|DC|},y=\frac{|CE|}{|EA|},z=\frac{|AF|}{|FB|}$

Wtedy:

$\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{P_{\mathrm{\Delta }ADB}}{P_{\mathrm{\Delta }ADC}}$

oraz

$\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{P_{\mathrm{\Delta }ODB}}{P_{\mathrm{\Delta }ODC}}$

Z tego wynika, że

$x=\frac{P_{\mathrm{\Delta }AOB}}{P_{\mathrm{\Delta }AOC}}$

Analogicznie:

$y=\frac{P_{\mathrm{\Delta }COB}}{P_{\mathrm{\Delta }AOB}}$

$z=\frac{P_{\mathrm{\Delta }AOC}}{P_{\mathrm{\Delta }COB}}$

Zatem:

$x\cdot y\cdot z=\frac{P_{\mathrm{\Delta }AOB}}{P_{\mathrm{\Delta }AOC}}\cdot \frac{P_{\mathrm{\Delta }COB}}{P_{\mathrm{\Delta }AOB}}\cdot \frac{P_{\mathrm{\Delta }AOC}}{P_{\mathrm{\Delta }COB}}$

Po skróceniu otrzymujemy:

$x\cdot y\cdot z=1,$

ale

$x\cdot y\cdot z=\frac{|AF|}{|FB|}\cdot \frac{|BD|}{|DC|}\cdot \frac{|CE|}{|EA|}$

więc:

$\frac{|AF|}{|FB|}\cdot \frac{|BD|}{|DC|}\cdot \frac{|CE|}{|EA|}=1$

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cevy jest prawdziwe przy dodatkowym założeniu, że proste $AD,$ $BE$ i $CF$ nie są równoległe. Załóżmy, że punkty $D,$ $E$ i $F$ spełniają powyższe równanie. Na mocy dodatkowego założenia bez straty ogólności można założyć, że prosta $AD$ nie jest równoległa do prostej $BE.$ Niech $AD$ i $BE$ przecinają się w $O$ i niech $CO$ przecina $AB$ w $F^{\prime }.$ Z udowodnionej przed chwilą implikacji,

$\frac{A{F}^{\prime }}{F^{\prime }B}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1.$

Z porównania dwóch ostatnich równań jest

$\frac{A{F}^{\prime }}{F^{\prime }B}=\frac{AF}{FB}.$

Po dodaniu jedynki do obu stron i wykorzystaniu równości $A{F}^{\prime }+F^{\prime }B=AF+FB=AB,$ zachodzi

$\frac{AB}{F{}^{\prime }B}=\frac{AB}{FB}.$

A więc $F^{\prime }B=FB,$ czyli $F$ i $F^{\prime }$ pokrywają się (ponieważ na wspólnej półprostej $AB$ o początku w $B$). A więc $AD,$ $BE$ i $CF=C{F}^{\prime }$ przecinają się w $O.$

Zastosowania

Twierdzenie Cevy i doń odwrotne mają wiele zastosowań w geometrii. Na przykład za pomocą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy można łatwo dowieść, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się wysokości, środkowe, dwusieczne (są to tzw. proste Cevy)

Twierdzenie Cevy dla czworościanu

Niech $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ oznaczają punkty czworościanu $ABCD$ leżące odpowiednio wewnątrz odcinków $AB,BC,CD,DA.$ Załóżmy, że płaszczyzny $AB{C}^{\prime },BC{D}^{\prime },CD{A}^{\prime },DA{B}^{\prime }$ przecinają się w jednym punkcie. Wówczas zachodzi równość:

$\frac{A{A}^{\prime }}{A^{\prime }B}\frac{B{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}\frac{C{C}^{\prime }}{C^{\prime }D}\frac{D{D}^{\prime }}{D^{\prime }A}=1$

Dowód polega na zauważeniu, że punkt przecięcia płaszczyzn leży zarówno na prostej $A^{\prime }{C}^{\prime },$ jak i $B^{\prime }{D}^{\prime },$ które są przecięciami dwóch z tych płaszczyzn. Stąd wynika, że $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ leżą na jednej płaszczyźnie, a z twierdzenia Menelaosa dla czworościanu – teza.

Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość

$\frac{A{A}^{\prime }}{A^{\prime }B}\frac{B{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}\frac{C{C}^{\prime }}{C^{\prime }D}\frac{D{D}^{\prime }}{D^{\prime }A}=1,$

to płaszczyzny $AB{C}^{\prime },BC{D}^{\prime },CD{A}^{\prime },DA{B}^{\prime }$ przecinają się w jednym punkcie, jest również prawdziwe.

Zobacz też

• twierdzenie Menelaosa
• wersja trygonometryczna twierdzenia Cevy
• twierdzenie van Aubela

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Otwarty dostęp Ceva theorem Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-30].