Rozbicie zbioru

Podział zbioru na sześć części.

Rozbicie zbioru, podział zbioru, partycja zbioru – każda rodzina $\{A_t:t\in T\}$ podzbiorów ustalonego zbioru $A$ spełniająca trzy warunki – podzbiory teSzablon:Odn:

• są niepuste,

  ${\mathrm{\forall }}_{t\in T}{A}_t\ne \varnothing ;$

• są parami rozłączne,

  $A_i\ne A_j⟹A_i\cap A_j=\varnothing ;$

• sumują się do danego zbioru,

  $A=\bigcup _{t\in T}{A}_t.$

Elementy podziału, czyli podzbiory $A_t$ wyżej zdefiniowanej rodziny, nazywa się niekiedy klasami rozbiciaSzablon:Odn.

Liczba sposobów podziału skończonego zbioru $n$-elementowego wyraża się $n$-tą liczbą Bella, $B_n.$ Jeśli zbiór ma $\kappa$ elementów, to istnieje $2^{\kappa }$ możliwych podziałów tego zbioru. Innymi słowy, zbiór podziałów zbioru $Z$ jest równoliczny ze zbiorem potęgowym $𝒫(Z)$ zbioru $Z.$Szablon:Fakt

Przykłady

Ponieważ jedynym podzbiorem zbioru pustego jest podzbiór pusty, to jedynie pusta rodzina zbiorów może być rozbiciem zbioru pustego. Niekiedy wyklucza się tę możliwość w definicji.

Podział zbioru jednoelementowego składa się jednego elementu: tego właśnie zbioru.

Istnieją dwa podziały zbioru $\{1,2\},$ mianowicie rodzina złożona ze zbioru $\{1,2\}$ (podział jednoelementowy) oraz rodzina składająca się ze zbiorów $\{1\},\{2\}$ (podział dwuelementowy).

Trójelementowy zbiór $\{a,b,c\}$ można podzielić na jeden z pięciu sposobów:

• $\{\{a,b,c\}\},$
• $\{\{a\},\{b,c\}\},$
• $\{\{a,b\},\{c\}\},$
• $\{\{a,c\},\{b\}\},$
• $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}.$

Zobacz też

• pokrycie zbioru
• miara σ-skończona

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Otwarty dostęp Decomposition Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].