Liczby Bella

Liczba Bella dla liczby naturalnej $n$ (oznaczenie: $B_n$) to liczba podziałów zbioru $\{1,\dots ,n\}.$

• $B_0=1,$ bo zbiór pusty $\{\}$ ma jedyny podział: $\{\}.$
• $B_1=1,$ bo zbiór $\{1\}$ ma jedyny podział: $\{\{1\}\}.$
• $B_2=2,$ bo zbiór $\{1,2\}$ ma dwa podziały: $\{\{1,2\}\}$ i $\{\{1\},\{2\}\}.$
• $B_3=5,$ bo zbiór $\{1,2,3\}$ ma $5$ podziałów:
  1. $\{\{1,2,3\}\}$
  2. $\{\{1\},\{2,3\}\}$
  3. $\{\{2\},\{1,3\}\}$
  4. $\{\{3\},\{1,2\}\}$
  5. $\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$
• $B_4=15,$ $B_5=52,\dots$

Liczby Bella spełniają następujący wzór rekurencyjny:

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k,n\in \mathbb{N}.$

Oraz „wzór Dobińskiego”:

$B_n=\frac{1}{e}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^n}{k!}.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-05-12].
• Szablon:Otwarty dostęp Bell numbers Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-12].