Spirala Archimedesa

Wykres krzywej r = a φ (dla a, φ > 0)

Szablon:Link-interwiki spirali Archimedesa. Sama spirala nie jest rysowana: widzimy ją jako miejsce punktów, w których okręgi są szczególnie blisko siebie.

Spirala Archimedesa – krzywa płaska, taka że odległość $r$ punktu poruszającego się po spirali od jej punktu początkowego rośnie proporcjonalnie do kąta obrotu $\phi .$ We współrzędnych biegunowych spiralę Archimedesa definiuje równanie:

$r=|a\cdot \phi |,$

gdzie:

$\phi >0$ lub $\phi <0$

$a\ne 0$ – ustalony parametr spirali; im większa jego wartość bezwzgledna, tym większa odległość od siebie kolejnych zwojów spirali.

Dla $\phi >0$ spirala kręci się przeciwnie niż wskazówki zegara (jest lewoskrętna).

Dla $\phi <0$ spirala kręci się zgodnie ze wskazówkami zegara (jest prawoskrętna).

Ogólniej:

$r=|a\cdot \phi +b|$Szablon:Odn.

Uogólnienia na inne krzywe

Spiralę Archimedesa uogólnia się na krzywe zdefiniowane wzorem:

$r=|a\cdot {\phi }^{1/n}|$

lub ogólniej:

$r=|a\cdot {\phi }^{1/n}+b|.$

W szczególności:

• dla $n=1$ jest to spirala Archimedesa,
• dla $n=-1$ jest to spirala hiperboliczna,
• dla $n=2$ jest to spirala Fermata.

Niekiedy w literaturze anglojęzycznej noszą one wspólną nazwę Archimedean spirals.

Równanie spirali Archimedesa we współrzędnych kartezjańskich

Przechodzimy od równania we współrzędnych biegunowych do równań we współrzędnych kartezjańskich za pomocą przekształceń:

$\{\begin{array}{c}x=r\cos \phi \\ y=r\sin \phi \end{array}$

(1) równanie parametryczne spirali Archimedesa obracającej się przeciwnie do wskazówek zegara otrzyma się dla $\phi >0;$ równania te mają postać:

$\{\begin{array}{c}x(\phi )=a\phi \cos (\phi )\\ y(\phi )=a\phi \sin (\phi )\end{array}$

gdzie $\phi \in <0,+\mathrm{\infty })$ – parametr kątowy, $a$ – stały parametr spirali, $a\ne 0;$ przy czym:

a) dla $a>0$ otrzyma się spiralę jak na rysunku powyżej;

b) dla $a^{\prime }=-a<0$ otrzyma się tę samą spiralę obróconą o 180° wokół prostej prostopadłej do płaszczyzny spirali, przechodzącej przez początek układu współrzędnych, tj. równania tej spirali mają postać:

$\{\begin{array}{c}x(\phi )=-a\phi \cos (\phi )\\ y(\phi )=-a\phi \sin (\phi )\end{array}$

gdzie $\phi \in <0,+\mathrm{\infty }).$

Obie spirale gładko łączą się ze sobą w punkcie początkowym.

(2) równanie parametryczne spirali Archimedesa obracającej się zgodnie ze wskazówkami zegara otrzyma się dla $\phi <0;$ równania te mają postać:

$\{\begin{array}{c}x(\phi )=-a\phi \cos (\phi )\\ y(\phi )=-a\phi \sin (\phi )\end{array}$

gdzie $\phi \in (-\mathrm{\infty },0>$ – parametr kątowy, $a$ – stały parametr spirali, $a\ne 0;$ dla $a^{\prime }=-a$ otrzyma się tę samą spiralę obróconą o 180° wokół prostej prostopadłej do płaszczyzny spirali, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Obie spirale gładko łączą się ze sobą w punkcie początkowym.

Porównując równania spirali lewo i prawoskrętnych widać, że równania są identyczne – o skrętności decyduje jednak to, czy parametr kątowy $\phi$ jest w zakresie liczb większych czy mniejszych od zera.

Zobacz też

• lista krzywych
• loksodroma
• spirala Fermata
• spirala hiperboliczna
• spirala logarytmiczna
• spirala złota

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:MathWorld
• Szablon:Otwarty dostęp Archimedean spiral Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].