Złota spirala

Przybliżona oraz dokładna złota spirala: zielona spirala jest zbudowana z ćwiartek okręgów, natomiast czerwona spirala jest złotą spiralą. Pokrywające się fragmenty zaznaczono na żółto. Stosunki długości boków kolejnych kwadratów są równe φ.

Spirala Fibonacciego, zbudowana z ćwiartek okręgów, których promienie są kolejnymi liczbami Fibonacciego. Jest przybliżeniem złotej spirali, ale nie jest złotą spiralą

Złota spirala – szczególny przypadek spirali logarytmicznej, w której współczynnik $b$ jest stałą zależną od $\phi$ (gdzie $\phi$ jest „złotą liczbą”). Cechą charakterystyczną złotej spirali jest to, że co 90° jej szerokość zwiększa się (lub zmniejsza) dokładnie $\phi$ razy.

Wzór

Ogólne wzory na spiralę logarytmiczną we współrzędnych biegunowych:

$r=a{e}^{b\theta }$

oraz

$\theta =\frac{1}{b}\ln (r/a),$

(gdzie $e$ – podstawa logarytmu naturalnego) mają również zastosowanie w przypadku złotej spirali. W tym przypadku $\theta$ jest kątem prostym, $b$ jest stałą rzeczywistą, zaś $r/a=\phi$ (gdzie $\phi$ jest „złotą liczbą”). Stąd mamy wzór:

$e^{b\theta }=\phi .$

Wartość $b$ wyraża się wzorem:

$b=\frac{\ln \phi }{\theta }.$

Wartość $b$ może być dodatnia lub ujemna, w zależności od tego, w którą stronę skierowany jest kąt prosty $\theta .$ Wartość bezwzględna z $b$ wynosi:

$|b|=\frac{\ln \phi }{90^{\circ }}=\frac{0,0053468}{1^{\circ }}$ dla $\theta$ wyrażonego w stopniach;

$|b|=\frac{\ln \phi }{\pi /2}=0,306349$ dla $\theta$ wyrażonego w radianach.

Przybliżenia złotej spirali

Znanych jest wiele spiral będących przybliżeniami złotej spirali i często mylonych z nią. Przykładem może być spirala Fibonacciego, która nie jest spiralą logarytmiczną.

Zobacz też

• ciąg Fibonacciego
• spirala
• spirala logarytmiczna
• złoty podział

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Golden Spiral demonstracja autorstwa Yu-Sung Chang, The Wolfram Demonstrations Project