Rozkład chi

Szablon:Dopracować Szablon:Rozkład prawdopodobieństwa infobox Rozkład chi (zapisywany jako rozkład χ) to rozkład prawdopodobieństwa typu ciągłego.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu dana jest wzorem:

$f(x)=\frac{{\left(\frac{x-A}{B}\right)}^{\nu -1}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-A}{B}\right)}^2}}{2^{\frac{\nu }{2}-1}B\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu }{2}\right)},$

gdzie $A,B,\nu$ to parametry rozkładu, zaś Γ oznacza funkcję gamma.

Parametr $\nu$ nazywany jest liczbą stopni swobody rozkładu, musi być liczbą większą od 0.

Dystrybuanta tego rozkładu ma postać:

$F(x)=\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu }{2},\frac{1}{2}{\left(\frac{x-A}{B}\right)}^2).$

Własności:

• Jeśli zmienna losowa $X$ ma rozkład chi-kwadrat, to zmienna losowa $\sqrt{X}$ ma rozkład chi.
• Mediana nie może być wyrażona za pomocą funkcji elementarnych, natomiast skośność i kurtoza wyrażają się wzorami:

skośność:

$\frac{\sqrt{2}[4{\mathrm{\Gamma }}^3\left(\frac{\nu +1}{2}\right)+{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{\nu }{2}\right)(2\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu +3}{2}\right)-3\nu \mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu +1}{2}\right))]}{{\mathrm{\Gamma }}^3\left(\frac{\nu }{2}\right){[\nu -\frac{2{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{\nu }{2}\right)}]}^{\frac{3}{2}}}$

kurtoza:

$\frac{2\nu (1-\nu ){\mathrm{\Gamma }}^4\left(\frac{\nu }{2}\right)-24{\mathrm{\Gamma }}^4\left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{{[\nu {\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{\nu }{2}\right)-2{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{\nu +1}{2}\right)]}^2}+$

$+\frac{8(2\nu -1){\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{\nu }{2}\right){\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{{[\nu {\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{\nu }{2}\right)-2{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{\nu +1}{2}\right)]}^2}$

Specjalne przypadki:

• $\nu =1$ – rozkład półnormalny
• $\nu =2,A=0$ – rozkład Rayleigha
• $\nu =3,A=0$ – rozkład Maxwella

Zobacz też

• rozkład chi-kwadrat
• rozkład zmiennej losowej