Układ dynamiczny

Układ dynamiczny – model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie konkretnych zjawisk, m.in. w teorii sterowania. Układy złożone są najczęściej symulowane komputerowo. Niektóre układy dynamiczne mogą wykazywać właściwości chaotyczne, najprostszym przykładem jest odwzorowanie logistyczne.

W odróżnieniu od układu statycznego, którego stan w danej chwili t jest zależny wyłącznie od wartości parametrów w chwili t, układ dynamiczny zależy także od parametrów z przeszłości. Innymi słowy system dynamiczny wymaga pamięci na temat poprzednich stanów aby wytworzyć wynik. Można go także określić jako układ z pamięcią, czyli układ, którego zachowanie zależy od stanu pamięci i zadanego wymuszenia.

Typy układów dynamicznych

Gładkie

(pochodzą od autonomicznych równań różniczkowych)

$X$ – zbiór z pewną strukturą różniczkowalną,

$(T_t)$ – rodzina odwracalnych przekształceń różniczkowalnych (dyfeomorfizmów) spełniających warunek $T_t\circ T_s=T_{t+s}.$

Topologiczne

(dziedzina: dynamika topologiczna)

Niech $𝐗$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $\phi :𝐗\times ℝ\to 𝐗$ niech będzie odwzorowaniem. Parę $(𝐗,\phi )$ nazywa się układem dynamicznym, jeżeli dla wszystkich $x\in 𝐗$ oraz $t,s\in ℝ$ zachodzą warunki:

$\phi (x,0)=x,$

$\phi (\phi (x,t),s)=\phi (x,t+s)$

oraz $\phi$ jest odwzorowaniem ciągłym.

Interpretacja

Interpretacja tej definicji może być następująca:

Przestrzeń $𝐗$ jest zbiorem wszystkich możliwych stanów, w których może znajdować się pewien fizyczny układ. Zbiór liczb rzeczywistych $ℝ$ reprezentuje oś czasu. Punkt $\phi (x,t)$ jest interpretowany jako stan układu po upływie czasu $t,$ jeżeli wiemy, iż układ ten był w chwili $t=0$ w stanie $x.$ Warunek drugi powyższej definicji mówi w istocie o tym, że sposób ewolucji początkowego stanu układu nie zależy od czasu, w którym ta ewolucja przebiega.

Teoriomiarowe

(dziedzina: teoria ergodyczna)

$(X,ℱ,\mu )$ – przestrzeń z miarą (zwykle probabilistyczna), $T:X\to X$ – odwzorowanie mierzalne, o którym często zakłada się, że zachowuje miarę, tzn. $\mu (B)=\mu (T^{-1}B)$ dla $B\in ℱ.$

Przykładami takich odwzorowań są: przekształcenie piekarza oraz przesunięcie w lewo dla uogólnionego schematu Bernoulliego (układu Bernoulliego), albo np.

$Tx=2xmod1$ dla $x\in X=[0,1].$

Zobacz też

• układ statyczny
• przestrzeń fazowa (przestrzeń stanów)
• przestrzeń konfiguracyjna