Ruch obrotowy

Przekładnia ślimakowa jako przykład ruchu obrotowego względem stałej osi obrotu

Ruch obrotowy wokół ustalonej osi – szczególny przypadek ruchu obrotowego, rozważany w nauczaniu fizyki. Ograniczenie zagadnienia do stałej osi obrotu wyklucza możliwość opisania takich zjawisk, jak chwianie się lub precesja.

W ruchu obrotowym wokół ustalonej osi, wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu, a okręgi te leżą w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu. Rozważa się obrót punktu materialnego oraz bryły sztywnej wokół ustalonej osi obrotuSzablon:Odn. Ograniczenie to umożliwia przyjęcie pojęć i sformułowania praw rządzących tym ruchem będących odpowiednikami praw ruchów liniowych. Opis ruchu wokół nieustalonych osi obrotu jest bardziej skomplikowanySzablon:Odn.

Ruch bryły wokół ustalonej osi obrotu często występuje w technice, wiele ruchów można opisać jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego względem osi o ustalonym kierunkuSzablon:Odn.

Ruch obrotowy punktu, prędkość kątowa

Kinematyka

Wybierając do opisu ruchu układ współrzędnych walcowych o osi będącej osią obrotu, jedyną zmieniającą się współrzędną jest kąt o jaki obraca się opisywane ciało. Przez co ruch obrotowy o ustalonej osi obrotu punktu materialnego i bryły sztywnej jest matematycznym odpowiednikiem ruchu postępowego po linii prostej.

Zmiany kąta w czasie opisuje prędkość kątowa określona jakoSzablon:Odn:

$\omega =\frac{d\theta }{dt}.$

Zmiany prędkości kątowej opisuje przyspieszenie kątoweSzablon:Odn:

$\epsilon =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^2\theta }{d{t}^2},$

gdzie:

$\epsilon$ – przyspieszenie kątowe,

$\omega$ – prędkość kątowa,

$\theta$ – kąt.

Związek między prędkością liniową w prędkością kątową

$v=\omega l$

lub

$v=\frac{d\theta }{dt}l$

gdzie: $v$ – prędkość liniowa w ruchu po okręgu o promieniu $l$.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

(1) Energia kinetyczna ciała punktowego, poruszającego się po okręgu o promieniu $l$:

$E_{\text{rot}}=\frac{1}{2}m{l}^2{\omega }^2$

gdyż:

$E_{\text{rot}}=\frac{m{v}^2}{2}=\frac{m(\omega l{)}^2}{2}=\frac{1}{2}m{l}^2{\omega }^2$

(2) Energia kinetyczna $E_{\text{rot}}$ bryły sztywnej składającej się z ciał punktowych jest sumą energii kinetycznej tych ciał i jest dana wzorem

$E_{\text{rot}}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{m}_i{l}_i^2{\omega }^2=\frac{1}{2}I{\omega }^2$,

gdzie $I=\sum _{i=1}^n{m}_i{l}_i^2$ - moment bezwładności ciała.

Dynamika

Podstawowym prawem opisującym ruch bryły sztywnej jest druga zasada dynamiki ruchu obrotowego:

$\overrightarrow{M}=\frac{\overrightarrow{dL}}{dt},$

gdzie:

$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F},$

gdzie $M$ jest momentem siły względem obranego punktu odniesienia, a $L$ – krętem (momentem pędu) względem tego samego punktu odniesienia.

Jeżeli obrót odbywa się względem osi stałej lub sztywnej wówczas druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego może być napisana w następujący sposób:

$\overrightarrow{M}=I\frac{d\overrightarrow{\omega }}{dt}=I\overrightarrow{\epsilon },$

gdzie $M$ oznacza moment siły a $I$ moment bezwładności względem osi obrotu.

Gdy brak momentu sił zewnętrznych $(M=0),$ z pierwszego wzoru można otrzymać równanie ilustrujące zasadę zachowania momentu pędu

$\frac{\overrightarrow{dL}}{dt}=0,$

$\overrightarrow{L}=\mathrm{const}.$

Gdy oś obrotu jest ustalona, brak momentu sił oznacza stałość prędkości kątowej, ponieważ

$L=I\overrightarrow{\omega }=\mathrm{const},$

co przy stałości $I$ oznacza

$\overrightarrow{\omega }=\mathrm{const}.$

Ruch taki nazywany jest jednostajnym ruchem obrotowym.

Zobacz też

• druga zasada dynamiki ruchu obrotowego
• prędkość obrotowa
• ruch harmoniczny
• ruch postępowy
• ruch posuwisto-zwrotny

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę