Ruch jednostajny prostoliniowy

Wykresy kolejno: drogi, prędkości i przyspieszenia w funkcji czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym przy założeniu, że położenie w chwili początkowej opisuje liczba 0.

Ruch jednostajny prostoliniowy – ruch jednostajny po torze prostoliniowym, czyli ruch odbywający się wzdłuż prostej ze stałą prędkością. Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona ciało porusza się po torze prostoliniowym (lub pozostaje w spoczynku), jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub działające siły się równoważą.

W ruchu jednostajnym prostoliniowym wektor prędkości jest stały, co oznacza, że jego kierunek (i zwrot) nie zależą od czasu; w związku z tym szybkość, czyli wartość bezwzględna prędkości, również jest stała. Oznacza to, że przyspieszenie jest równe zeru, a prędkość średnia równa jest prędkości chwilowej. Ponadto wartość bezwzględna przemieszczenia (zmiany położenia) jest równa drodze pokonanej przez ciało.

Opis

Ponieważ prędkość w ruchu jednostajnym nie zależy od czasu, tzn. zmiana położenia w równych odstępach czasu jest stała,

${𝐯}_t=𝐯=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},$

czyli droga zależy wprost proporcjonalnie od czasu:

$\mathrm{\Delta }{\mathrm{x}}_t={\mathrm{x}}_{t_2}-{\mathrm{x}}_{t_1}=𝐯(t_2-t_1)=𝐯\mathrm{\Delta }t,$

gdzie $\mathrm{\Delta }t=t_2-t_1>0$ jest odcinkiem czasu, w którym ciało przemieściło się o $\mathrm{\Delta }{\mathrm{x}}_t={\mathrm{x}}_{t_2}-{\mathrm{x}}_{t_1},$ czyli pokonało drogę

$\mathrm{\Delta }{s}_t=s_{t_2}-s_{t_1}=|{\mathrm{x}}_{t_2}-{\mathrm{x}}_{t_1}|=|\mathrm{\Delta }{\mathrm{x}}_t|=|𝐯|\mathrm{\Delta }t=v(t_2-t_1),$

gdzie $v=|𝐯|$ to szybkość. Oznacza to, że po czasie $t_2$ ciało znajduje się w położeniu

${\mathrm{x}}_{t_2}=𝐯(t_2-t_1)+{\mathrm{x}}_{t_1}.$

Podstawiając $t=t_2$ oraz $t_1=0,$ równanie ruchu przyjmuje postać

${\mathrm{x}}_t=𝐯t+{\mathrm{x}}_0,$

a przebyta droga wyraża się wzorem

$s_t=|{\mathrm{x}}_t|=vt+s_0,$

gdzie $t$ jest parametrem czasowym, ${\mathrm{x}}_0$ oznacza początkowe położenie ciała, $s_0$ oznacza drogę pokonaną przez ciało do tej pory (zwykle przyjmuje się, że jest ona równa zeru), zaś $𝐯$ oraz $v$ to stałe odpowiednio prędkość i szybkość.

Jeżeli ruch opisany jest za pomocą położenia $\mathrm{x}$ względem czasu $t$ za pomocą funkcja (całkowalnej) ${\mathrm{x}}_t,$ to droga jest równa długości krzywej przez nią wyznaczanej. Ponieważ prędkość jest pochodną drogi względem czasu,

${𝐯}_t=\frac{\mathrm{d}{\mathrm{x}}_t}{\mathrm{d}t},$

to przy oznaczeniach jw. przemieszczenie można wówczas wyrazić całką oznaczoną

$\mathrm{\Delta }{\mathrm{x}}_t={\mathrm{x}}_{t_2}-{\mathrm{x}}_{t_1}=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\mathrm{d}{\mathrm{x}}_t=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐯\mathrm{d}t=𝐯(t_2-t_1)$

przy czym prędkość jako stałą $𝐯$ względem czasu można wyłączyć ją przed całkę. Dla $t=t_2$ oraz $t_1=0$ jest

${\mathrm{x}}_t=𝐯t+{\mathrm{x}}_0.$

Droga to długość krzywej, tzn.

$\mathrm{\Delta }{s}_t=s_{t_2}-s_{t_1}=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}|\mathrm{d}{\mathrm{x}}_t|=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}|𝐯|\mathrm{d}t=v(t_2-t_1),$

czyli dla $t=t_2$ oraz $t_1=0$ jest

$s_t=vt+s_0.$