Przeciwobraz

Przeciwobraz zbioru – pojęcie matematyczne, konkretniej teorii mnogości, związane z dowolną funkcją lub inną relacją dwuargumentowąSzablon:Odn. Przeciwobrazy definiuje się dla podzbiorów przeciwdziedziny – dla funkcji $f:X\to Y$ przeciwobrazy dotyczą dowolnego zbioru $B\subseteq Y$. Przeciwobraz zbioru $B$ to zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowane na elementy $B$.

Pojęcie przeciwobrazu bywa używane w różnych działach matematyki, nie tylko wyższej; przeciwobrazami można definiować inne pojęcia jak miejsce zerowe i funkcja ciągła.

Przeciwobraz względem funkcji

Definicje i zapis

Niech $f:X\to Y$ oznacza dowolną funkcję ze zbioru $X$ w zbiór $Y$. Przeciwobrazem zbioru $B\subseteq Y$ względem $f$ nazywa się podzbiór zbioru $X$ określony wzorem

$f^{-1}[B]=\{x\in X:f(x)\in B\}.$

Inne oznaczenia:

• $f^{-1}(B);$
• ${\overrightarrow{f}}^{-1}(B).$

Przeciwobraz względem ustalonej funkcji $f$, oznaczany ${\overrightarrow{f}}^{-1}$, to funkcja ze zbioru potęgowego zbioru $Y$ w zbiór potęgowy zbioru $X$, czyli ${\overrightarrow{f}}^{-1}:2^Y\to 2^X$Szablon:Odn.

Oznaczenie $f^{-1}$ może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej, które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest bijekcją.

Przykłady

Niech funkcja rzeczywista $f:{ℝ}^2\to ℝ$ będzie dana wzorem $f(x,y)=x^2+y^2.$ Przeciwobraz liczby rzeczywistej $a$ przy tej funkcji – oznaczany $f^{-1}(a)$ – zależy od jej wartości:

• dla $a>0$ przeciwobrazami są okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych;
• dla $a=0$ przeciwobrazem jest sam początek układu;
• dla $a<0$ przeciwobrazem jest zbiór pusty.

Włókna

Przeciwobraz zbioru jednoelementowego oznacza się $f^{-1}[\{y\}]$ lub krócej $f^{-1}[y].$ Nazywa się go włóknem nad $y$, poziomicą lub warstwicą $y$Szablon:Fakt.

Zbiór wszystkich włókien nad elementami $Y$ tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez $Y.$ Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknieńSzablon:Fakt.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Przeciwobraz zbioru w odwzorowaniu, kanał Khan Academy na YouTube, 10 sierpnia 2016 [dostęp 2024-07-25].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-10-10].
• Szablon:Planetmath