Wielomiany Zernikego

Wielomiany Zernikego są zbiorem wielomianów ortogonalnych wewnątrz koła jednostkowego wprowadzonych przez Fritsa Zernike.

Definicja

Wielomiany Zernikego zdefiniowane są w postaci zespolonej:

$V_n^{\pm m}(\rho ,\theta )=R_n^m(\rho )\exp (\pm jm\theta ),$

gdzie:

$n,m$ są liczbami naturalnymi takimi, że $0⩽m⩽n,$ oraz $n-m$ jest parzyste,

$\rho ,\theta$ są współrzędnymi biegunowymi punktu (odpowiednio długością promienia wodzącego i wartością kąta skierowanego).

$R_n^m(\rho )$ jest wielomianem radialnym postaci:

$R_n^m(\rho )=\sum _{s=0}^{\frac{n-m}{2}}(-1{)}^s\frac{(n-s)!}{s!(\frac{n+m}{2}-s)!(\frac{n-m}{2}-s)!}{\rho }^{n-2s}.$

Czasami spotyka się również definicję wielomianów Zernikego w postaci rzeczywistej. Wyróżnia się parzyste i nieparzyste wielomiany Zernikego

$Z_n^m(\rho ,\theta )=R_n^m(\rho )\cos (m\theta )$ – wielomian parzysty,

$Z_n^{-m}(\rho ,\theta )=R_n^m(\rho )\sin (m\theta )$ – wielomian nieparzysty.

Przykłady

Kolejne wielomiany Zernike mają rozwinięcie

$V_0^0$	$1$
$V_1^1$	$\rho \exp (j\theta )$
$V_2^0$	$2{\rho }^2-1$
$V_2^2$	${\rho }^2\exp (j2\theta )$
$V_3^1$	$(3{\rho }^3-2\rho )\exp (j\theta )$
$V_3^3$	${\rho }^3\exp (j3\theta )$
$V_4^0$	$6{\rho }^4-6{\rho }^2+1$
$V_4^2$	$(4{\rho }^4-3{\rho }^2)\exp (j2\theta )$
$V_4^4$	${\rho }^4\exp (j4\theta )$

Mapy jasności niektórych wielomianów Zernikego:

	$V_2^0$	$V_2^2$	$V_3^1$	$V_3^3$	$V_4^0$
Część rzeczywista
Część urojona

Własności

Wielomiany radialne są ortogonalne:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\rho R_n^m(\rho )R_{n^{\prime }}^m(\rho )d\rho =\frac{1}{2(n+1)}{\delta }_{n{n}^{\prime }}$

gdzie ${\delta }_{n{n}^{\prime }}$ oznacza deltę Kroneckera. Podobnie, ortogonalność zachodzi dla wielomianów Zernikego:

$\iint \rho [V_n^m(\rho ,\theta ){]}^{*}{V}_p^q(\rho ,\theta )d\rho d\theta =\frac{\pi }{n+1}{\delta }_{nm}{\delta }_{pq}$

Wielomiany te posiadają również własność rotacyjną

$V_n^m(\rho ,\theta +\alpha )=V_n^m(\rho ,\theta )\exp (jm\alpha )$

co oznacza, że ich moduł jest niezależny od obrotu:

$|V_n^m(\rho ,\theta +\alpha )|=|V_n^m(\rho ,\theta )|.$

Sprzężenie wielomianu Zernikego ma wartość:

$(V_n^m(\rho ,\theta ){)}^{*}=V_n^{-m}(\rho ,\theta )$

Zastosowanie

W optyce, wielomiany Zernikego stosuje się do opisu aberracji soczewek.

Wielomiany Zernikego znalazły też zastosowanie w cyfrowym przetwarzaniu obrazów, do dekompozycji obrazów na tzw. momenty Zernikego.

Zobacz też

• wielomiany Legendre’a

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Cytuj stronę (en.)