Złożony proces Poissona

Złożony proces Poissona – proces stochastyczny, w którym w losowych momentach czasu (zadanymi procesem Poissona) następuje zmiana o losową wartość, po czym do czasu następnej zmiany wartość procesu jest wielkością stałą.

Definicja

Złożony proces Poissona $\{X_t{\}}_{t⩾0}$ zadany parametrem $\lambda \in {ℝ}_{+}$ dla dowolnego $t⩾0$ postać:

$X_t=\sum _{i=1}^{N_t}{Y}_i,$

gdzie:

• $\{N_t{\}}_{t⩾0}$ jest procesem Poissona o parametrze $\lambda ,$
• $Y_1,Y_2,\dots$ są niezależnymi zmiennymi o takich samym rozkładzie,
• zmienne $Y_1,Y_2,\dots$ są również niezależne z danym procesem Poissona.

Własności

Jeżeli $\{X_t{\}}_{t⩾0}$ jest złożonym procesem Poissona, ma następujące własności:

• dla każdego $\omega$ funkcja $t\mapsto X_t(\omega )$ jest przedziałami stała i prawostronnie ciągła,
• wartość oczekiwana w chwili $t$ wynosi: $E{X}_t=\lambda tE{Y}_1,$
• wariancja w chwili $t$ wynosi: $D^2{X}_t=\lambda tE(Y_1^2),$
• funkcja charakterystyczna w chwili $t$ wynosi:

${\varphi }_{X_t}(u)=\exp (\lambda tE(e^{iu{Y}_1}-1)).$

Związek z procesem Lévy’ego

Złożony proces Poissona jest procesem Lévy’ego. Ponadto jeżeli proces Lévy’ego jest przedziałami stały, jest on złożonym procesem Poissona.