Zbiór wewnętrzny

Szablon:Spis treści Zbiór wewnętrzny – w logice matematycznej, w szczególności teorii modeli i analizie niestandardowej, zbiór będący elementem modelu.

Pojęcie zbioru wewnętrznego standowi narzędzie do sformułowania zasady przenoszenia, która dotyczy związków logicznych między właściwościami liczb rzeczywistych $ℝ$ a właściwościami większego ciała liczb hiperrzeczywistych $\text{<mo stretchy="false">*</mo>}ℝ.$ Ciało $\text{*}ℝ$ zawiera w szczególności liczby infinitezymalne (tj. „nieskończenie małe”), dając przy tym ścisłe uzasadnienie posiłkowania się nimi. Z grubsza rzecz ujmując, ich ideą jest wyrażenie analizy rzeczywistej w odpowiednim języku logiki matematycznej, a następnie wskazaniu, że ten sam język jest wygodnym sposobem opisu liczb hiperrzeczywistych. Okazuje się, że jest to możliwe: z punktu wiedzenia teorii zbiorów twierdzenia w takim języku interpretowane są jako stosowalne tylko w zakresie zbiorów wewnętrznych, a nie wszystkich zbiorów (słowo „język” użyte jest tu w sensie potocznym, jak wyżej).

Przykładem aksjomatycznego podejścia do analizy niestandardowej jest teoria zbiorów wewnętrznych Edwarda Nelsona (zob. również teoria Palmgrena w konstruktywnej analizie niestandardowej). Konwencjonalne ujęcia nieskończoności w analizie niestandardowej również wykorzystują pojęcie zbioru wewnętrznego.

Zbiory wewnętrzne w konstrukcji ultrapotęgowej

Szablon:Zobacz też Zgodnie z konstrukcją ultrapotęgową liczb hiperrzeczywistych jako klas równoważności ciągów $⟨u_n⟩,$ zbiór wewnętrzny $[A_n]$ w $\text{*}ℝ$ jest zdefiniowany za pomocą ciągu zbiorów rzeczywistych $⟨A_n⟩,$ gdzie o liczbie hiperrzeczywistej $[u_n]$ mówi się, że należy do zbioru $[A_n]\subseteq \text{*}ℝ$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór indeksów $n,$ dla których $u_n\in A_n,$ jest elementem ultrafiltru użytego w konstrukcji $\text{*}ℝ.$

Ogólniej, byt wewnętrzny jest elementem naturalnego rozszerzenia bytu rzeczywistego. Zatem dowolny element $\text{*}ℝ$ jest wewnętrzny; podzbiór $\text{*}ℝ$ jest wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem naturalnego rozszerzenia $\text{*}𝒫(ℝ),$ czyli zbioru potęgowego $𝒫(ℝ)$ liczb rzeczywistych $ℝ$ itd.

Podzbiory wewnętrzne liczb rzeczywistych

Każdy podzbiór wewnętrzny $ℝ$ jest z konieczności skończony (tj. nie ma elementów nieskończonych, ale może mieć nieskończenie wiele elementów). Innymi słowy każdy nieskończony podzbiór wewnętrzny liczb hiperrzeczywistych zawiera koniecznie elementy niestandardowe.

Zobacz też

• funkcja części standardowej

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę