Zasada dualności

Zasada dualności (lub dawniej zasada dwoistości) – prawo geometrii rzutowej, mówiące, że dowolne prawdziwe twierdzenie na płaszczyźnie rzutowej zawierające tylko sformułowania:

• punkt leży na prostej,
• proste przecinają się w punkcie,
• punkt należy do stożkowej,
• prosta jest styczna do stożkowej,

jest równoważne twierdzeniu które można otrzymać, jeśli zamieni się w nim pojęcia "prosta" na "punkt" i odwrotnie (i odpowiednio "przechodzi przez" na "leży na") oraz zwrot "punkt należy do stożkowej" na "prosta jest styczna do stożkowej" i odwrotnie.

Przykłady

Współliniowość i współpękowość punktów

Do każdego twierdzenia mówiącego o współliniowości danych punktów rzutowych istnieje dualne twierdzenie o współpękowości odpowiadających im prostych dualnych.

Twierdzenie Brianchona i Pascala

Przykładem twierdzeń dualnych są twierdzenie Brianchona i twierdzenie Pascala.

Twierdzenie Pascala	Twierdzenie Brianchona
Jeśli:
$p_1,\dots ,p_6$ są różnymi punktami stożkowej	${\ell }_1,\dots ,{\ell }_6$ są różnymi stycznymi do stożkowej
to trzy
punkty przecięcia	proste łączące
odpowiednio
prostej $p_1{p}_2$ z prostą $p_4{p}_5$	punkt przecięcia ${\ell }_1{\ell }_2$ z punktem przecięcia ${\ell }_4{\ell }_5$
prostej $p_2{p}_3$ z prostą $p_5{p}_6$	punkt przecięcia ${\ell }_2{\ell }_3$ z punktem przecięcia ${\ell }_5{\ell }_6$
prostej $p_3{p}_4$ z prostą $p_6{p}_1$	punkt przecięcia ${\ell }_3{\ell }_4$ z punktem przecięcia ${\ell }_6{\ell }_1$
leżą na jednej prostej.	przecinają się w jednym punkcie.

Twierdzenie Pappusa i Desargues’a

Przykładem twierdzeń dualnych są twierdzenie Pappusa i twierdzenie Desargues’a.

Twierdzenie Sylvestera-Gallai

Przykładem twierdzeń dualnych są twierdzenie Sylvestera-Gallai oraz dualne twierdzenie Sylvestera-Gallai.

Twierdzenie Sylvestera-Gallai	Dualne twierdzenie Sylvestera-Gallai
Każda konfiguracja
prostych,	punktów,
która nie jest
pękiem,	współliniowa,
generuje co najmniej jeden (jedną)
punkt zwyczajny.	prostą zwyczajną.

Bibliografia

• K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, Warszawa, 1977.
• L. Dubikajtis, Wiadomości z geometrii rzutowej, Warszawa, 1972.