Pęk prostych

Niektóre z prostych pęku o środku A

Pęk prostych – zbiór wszystkich prostych spełniających jeden z dwóch warunków:

• przechodzących przez ustalony punkt, zwany środkiem pęku lub wierzchołkiem pęku;
• równoległych do ustalonej prostej (przechodzących przez punkt nieskończoności). W tym drugim przypadku mówi się o niewłaściwym pęku prostych albo o kierunku.

Każde dwie proste na jednej płaszczyźnie są współpękowe; gdy są równoległe, to mówimy, że są współpękowe w sposób niewłaściwySzablon:Fakt. Rozważa się też pęki bardziej ogólnych krzywych stożkowych, zdefiniowane analitycznie.

Opis analityczny

Równanie pęku prostych na płaszczyźnie, o środku wyznaczonym przez nierównoległe proste, zapisujemy w postaci:

$t_1(A_{1}x+B_{1}y+C_1)+t_2(A_{2}x+B_{2}y+C_2)=0,$

gdzie $t_1,t_2\in ℝ$ spełniają warunek $t_1^2+t_2^2>0.$

Każda prosta przechodząca przez środek pęku da się przedstawić powyższym równaniem (mówimy, że jest współpękowa z wszystkimi prostymi przechodzącymi przez ten punkt) i, na odwrót, każde równanie powyższej postaci przedstawia pewną prostą należącą do pęku.

Jeżeli proste $p_1,p_2,p_3$ mają odpowiednio równania:

$p_1:A_{1}x+B_{1}y+C_1=0,$

$p_2:A_{2}x+B_{2}y+C_2=0,$

$p_3:A_{3}x+B_{3}y+C_3=0,$

to są one współpękowe (należą do jednego pęku) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją trzy różne od zera liczby $l_1,l_2,l_3$ takie, że spełnione jest równanie:

$l_1(A_{1}x+B_{1}y+C_1)+l_2(A_{2}x+B_{2}y+C_2)+l_3(A_{3}x+B_{3}y+C_3)=0$

lub równoważnie

$\left|\begin{array}{ccc}{A}_1& B_1& C_1\\ A_2& B_2& C_2\\ A_3& B_3& C_3\end{array}\right|=0.$

Zobacz też

• pęk płaszczyzn
• quasi-pęk prostych

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Pismo Delta