Współczynniki greckie

W matematyce finansowej współczynniki greckie oznaczają wrażliwość rynku opcji lub innych instrumentów pochodnych. Greckie współczynniki mierzą zmianę wartości opcji w stosunku do zmiany czynników wpływających na wartość opcji.

Współczynniki greckie

Delta

Współczynnik delta oznacza przewidywany stopień zmiany ceny opcji w zależności od małej zmiany ceny instrumentu bazowego będącego przedmiotem opcji.

Współczynnik ten przyjmuje wartość dla opcji kupna z przedziału od 0 do 1, a dla opcji sprzedaży od –1 do 0. W przypadku instrumentu bazowego wartość delta wynosi 1.

Matematycznie, delta jest pochodną wartości opcji $V$ po cenie instrumentu bazowego $S.$

Wzór

$\mathrm{\Delta }=\frac{\partial V}{\partial S},$

gdzie:

$\mathrm{\Delta }$ – zmiana ceny opcji,

$V$ – wartość opcji,

$S$ – cena instrumentu bazowego.

gamma

Jest miarą zmiany wartości współczynnika delta. Innymi słowy jest drugą pochodną wartości opcji $V$ po cenie instrumentu bazowego $S.$ $\mathrm{\Gamma }=\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}.$

theta

Mierzy wrażliwość wartości opcji na upływ czasu do wygaśnięcia (inaczej, pochodna wartości po czasie). $\mathrm{\Theta }=-\frac{\partial V}{\partial T}.$

vega

Jest miarą zmiany wartości opcji na skutek zmiany zmienności instrumentu bazowego, $\nu =\frac{\partial V}{\partial \sigma }.$ Vega nie jest nazwą litery alfabetu greckiego. Jako symbolu używa się litery $\nu$ (ny). W niektórych opracowaniach używa się kappa, $\kappa .$

rho

Mierzy wrażliwość zmiany wartości opcji na zmianę stopy wolnej od ryzyka. $\rho =\frac{\partial V}{\partial r}.$

Black-Scholes

Na podstawie modelu Blacka-Scholesa współczynniki greckie są liczone w następujący sposób. $\varphi$ (phi) jest funkcją gęstości rozkładu normalnego oraz $\mathrm{\Phi }$ jest wartością dystrybuanty rozkładu normalnego. Należy zauważyć, że gamma i vega mają takie same wzory dla opcji kupna i sprzedaży.

Dla danych: ceny instrumentu bazowego, $S,$
ceny wykonania, $K,$
stopy wolnej od ryzyka, $r,$
rocznej stopa dywidendy dla indeksu, $q,$
czas do realizacji, $\tau =T-t,$
historyczna zmienność, $\sigma ...$

	Opcje kupna	Opcje sprzedaży
delta	$e^{-q\tau }\mathrm{\Phi }(d_1)$	$-e^{-q\tau }\mathrm{\Phi }(-d_1)$
gamma	$e^{-q\tau }\frac{\varphi (d_1)}{S\sigma \sqrt{\tau }}$
vega	$S{e}^{-q\tau }\varphi (d_1)\sqrt{\tau }$
theta	$-e^{-q\tau }\frac{S\varphi (d_1)\sigma }{2\sqrt{\tau }}-rK{e}^{-r\tau }\mathrm{\Phi }(d_2)+qS{e}^{-q\tau }\mathrm{\Phi }(d_1)$	$-e^{-q\tau }\frac{S\varphi (d_1)\sigma }{2\sqrt{\tau }}+rK{e}^{-r\tau }\mathrm{\Phi }(-d_2)-qS{e}^{-q\tau }\mathrm{\Phi }(-d_1)$
rho	$K\tau e^{-r\tau }\mathrm{\Phi }(d_2)$	$-K\tau e^{-r\tau }\mathrm{\Phi }(-d_2)$
volga	$S{e}^{-q\tau }\varphi (d_1)\sqrt{\tau }\frac{d_1{d}_2}{\sigma }=Vega\frac{d_1{d}_2}{\sigma }$
vanna	$-e^{-q\tau }\varphi (d_1)\frac{d_2}{\sigma }=\frac{Vega}{S}[1-\frac{d_1}{\sigma \sqrt{\tau }}]$
charm	$-q{e}^{-q\tau }\mathrm{\Phi }(d_1)+e^{-q\tau }\varphi (d_1)\frac{2(r-q)\tau -d_2\sigma \sqrt{\tau }}{2\tau \sigma \sqrt{\tau }}$	$q{e}^{-q\tau }\mathrm{\Phi }(-d_1)-e^{-q\tau }\varphi (d_1)\frac{2(r-q)\tau -d_2\sigma \sqrt{\tau }}{2\tau \sigma \sqrt{\tau }}$
color	$-e^{-q\tau }\frac{\varphi (d_1)}{2S\tau \sigma \sqrt{\tau }}[2q\tau +1+\frac{2(r-q)\tau -d_2\sigma \sqrt{\tau }}{2\tau \sigma \sqrt{\tau }}{d}_1]$
dual delta	$-e^{-r\tau }\mathrm{\Phi }(d_2)$	$e^{-r\tau }\mathrm{\Phi }(-d_2)$
dual gamma	$e^{-r\tau }\frac{\varphi (d_2)}{K\sigma \sqrt{\tau }}$

gdzie

$d_1=\frac{\ln (S/K)+(r-q+{\sigma }^2/2)\tau }{\sigma \sqrt{\tau }}$

$d_2=\frac{\ln (S/K)+(r-q-{\sigma }^2/2)\tau }{\sigma \sqrt{\tau }}=d_1-\sigma \sqrt{\tau }$

$\varphi (x)=\frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi }}$

$\mathrm{\Phi }(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{e^{-\frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2\pi }}dy=\underset{-x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-\frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2\pi }}dy$

Zobacz też

• delta neutralny
• model Blacka-Scholesa
• wzór Blacka-Scholesa

Linki zewnętrzne

• Gpw.pl Informacje na temat wyceny opcji.