Współczynnik korelacji tetrachorycznej

Współczynnik korelacji tetrachorycznej – jedna z miar zależności, współczynnik określający poziom zależności pomiędzy dwiema zmiennymi dychotomicznymi i porządkowymi. Zakładamy przy tym, że obydwie zmienne są faktycznie zmiennymi ciągłymi i o rozkładzie normalnym, natomiast zostały one sprowadzone do skali dychotomicznej w celu ich uproszczenia lub z innych powodów.

Przykład zastosowania: korelacja pomiędzy wynikami uczniów pewnej klasy z egzaminu z matematyki i egzaminu z biologii, przy czym wyniki egzaminów zostały sprowadzone do postaci dychotomicznej (wartości: wynik powyżej mediany dla klasy lub wynik poniżej mediany dla klasy).

Obliczanie

Oznaczmy w następujący sposób liczebności w tablicy kontyngencji o wymiarach 2×2 pokazującej rozkład dwóch zmiennych dychotomicznych:

	y = 1	y = 0	total
x = 1	$a$	$b$	$a+b$
x = 0	$c$	$d$	$c+d$
total	$a+c$	$b+d$	$n$

Dokładne wyznaczenie wartości współczynnika korelacji tetrachorycznej na podstawie danych z próby wymaga dość złożonych numerycznie obliczeń. Należy znaleźć $\hat{\rho }$, wykorzytując następującą równość:

$\frac{d}{n}=\underset{\hat{h}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{\hat{k}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{2\pi {(1-{\hat{\rho }}^2)}^{1/2}}\text{exp}\left[\frac{-(x^2-2\hat{\rho }xy+y^2)}{2(1-{\hat{\rho }}^2)}\right]dydx$,

gdzie $\hat{h}={\mathrm{\Phi }}^{-1}\left(\frac{a+c}{n}\right)$ i $\hat{k}={\mathrm{\Phi }}^{-1}\left(\frac{a+b}{n}\right)$.

W 2005 Bonett i Price zaproponowali uproszczony wzór umożliwiający uzyskanie oszacowania o dobrych właściwościach:

${\hat{\rho }}^{*}=\cos \left(\frac{\pi }{1+{\hat{\omega }}^{\hat{c}}}\right)$,

gdzie: $\pi$ to liczba pi, $\hat{c}$ wyznaczone jest za pomocą następującego wzoru:

$\hat{c}=\frac{1}{2}(1-\frac{|b-c|}{5(n+2)}-{(\frac{1}{2}-\frac{min(a+b;a+c;b+d;c+d)+1}{n+2})}^2)$

zaś $\hat{\omega }$ to oszacowanie ilorazu szans z wykorzystaniem liczebności w komórkach tablicy kontyngencji powiększonych o 0,5:

$\hat{\omega }=\frac{(a+0,5)(d+0,5)}{(b+0,5)(c+0,5)}$.

Bibliografia

• Why so many Correlation Coefficients
• Bruce M. King, Edward W. Minium, Statystyka dla psychologów i pedagogów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, s. 193.