Wiązka styczna

(Góra) Wiązka styczna do okręgu – zbiór wszystkich stycznych do okręgu. (Dół) Fakt, że styczne traktuje się jako niezależne elementy pokazano na rysunku u dołu poprzez obrócenie stycznych tak, by nie przecinały się (de facto styczne w wiązce pozostają bez zmian kierunku).

Wiązka styczna $\mathrm{T}M$ do rozmaitości różniczkowej $M$ – zbiór wszystkich przestrzeni stycznych ${\mathrm{T}}_{x}M$ do poszczególnych punktów $x$ rozmaitości.

Topologia wiązki stycznej

Wiązka styczna posiada naturalną topologię: jeżeli rozmaitość jest klasy ${ℂ}^k,$ $k⩾1,$ to wraz z topologią wiązek stycznych tworzy rozmaitość topologiczną klasy ${ℂ}^{k-1}.$

Elementy wiązki stycznej

Niech ${\mathrm{T}}_{x}M$ oznacza przestrzeń styczną do $M$ w punkcie $x\in M,$ a $v$ – wektor styczny do $M$ w punkcie $x,$ $v\in {\mathrm{T}}_{x}M.$ Wtedy:

Elementami wiązki stycznej $\mathrm{T}M$ są pary $(x,v).$

Przykład

Jeżeli rozmaitością $M$ jest krzywa (np. okręgiem, parabolą itp.), to:

• przestrzeń styczna ${\mathrm{T}}_{x_1}M$ – to prosta styczna do krzywej w punkcie $x_1,$
• przestrzeń styczna ${\mathrm{T}}_{x_2}M$ – to prosta styczna do krzywej w punkcie $x_2,$
• itd.

Zbiór wszystkich prostych, stycznych do krzywej w poszczególnych jej punktach, razem z tymi punktami, tworzy wiązkę styczną danej krzywej $M.$

Jeżeli krzywa $M$ jest krzywą opisaną równaniami klasy ${ℂ}^1,$ to wiązka styczna jest rozmaitością topologiczną klasy ${ℂ}^0.$

Zobacz też

• wiązka kostyczna
• wiązka wektorowa

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Tangent bundle Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].