Wahadło stożkowe

Wahadło stożkowe

Wahadło stożkowe – punktowa masa zawieszona na nierozciągliwej nici zamocowanej w punkcie znajdująca się w polu sił grawitacyjnych. Masa obraca się wokół osi równowagi wahadła, co odpowiada temu, że nić tworzy z osią pionową cały czas taki sam kąt.

Wahadło jest szczególnym przypadkiem wahadła sferycznego.

Analiza wahadła

Na nieważkiej nici o długości $L$ zawieszone jest ciało o masie $m,$ zataczając poziomy okrąg ze stałą prędkością $\upsilon .$ Nić tworzy cały czas z pionem kąt $\theta$.

Na ciało działają dwie siły: naciąg nici $(N)$ i siła ciężkości $(mg).$

• Składowa pionowa siły $N$ równoważy przyciąganie grawitacyjne (siłę ciężkości)

  $N\cos \theta =mg.$

• Składowa pozioma siły $N$ jest siłą dośrodkową w ruchu po okręgu

  $N\sin \theta =\frac{m{v}^2}{r}$

gdzie $r=L\sin \theta .$

Z powyższych równań wynika:

$\frac{g}{\cos \theta }=\frac{v^2}{r\sin \theta }.$

Ponieważ $v=\omega r$ (związek między prędkością liniową a kątową), przy czym $\omega =\frac{2\pi }{T}$ to można powyższe zapisać jako

$\frac{g}{\cos \theta }=\frac{(\frac{2\pi r}{T}{)}^2}{r\sin \theta },$

$\frac{g}{\cos \theta }=\frac{(2\pi {)}^{2}r}{T^2\sin \theta },$

stąd

$T=2\pi \sqrt{\frac{r}{\sin \theta }\frac{\cos \theta }{g}}=2\pi \sqrt{\frac{L\cos \theta }{g}}$

oraz

$\omega =\sqrt{\frac{g}{L\cos \theta }}.$

Dla małych kątów $\theta ,$ $\cos (\theta )\approx 1,$ wówczas okres ruchu wahadła $T$ wahadła stożkowego nie zależy od kąta wahadła i jest taki sam jak dla wahadła matematycznego o tej samej długości.