Utrata cyfr znaczących

Utrata cyfr znaczących – zjawisko pojawiające się w obliczeniach komputerowych, konsekwencja zapisu liczb rzeczywistych w komputerze. Występuje ona np. podczas odejmowania liczb, których różnica jest znacznie mniejsza niż każda z tych liczb. W efekcie liczba cyfr znaczących wyniku maleje do nieakceptowalnie niskiego poziomu. Sposoby ograniczania bądź unikania takich efektów bada analiza numeryczna.

Wytłumaczenie zjawiska

Niech $x$ i $y$ będą bliskimi liczbami, których różnica jest znacznie mniejsza od każdej z nich. Niech $rd(x)$ i $rd(y)$ oznacza reprezentację liczb odpowiednio $x$ i $y$ w pamięci komputera. Liczby $x$ oraz $y$ dane są w postaci $rd(z)=\pm m_t\cdot 2^c,$ gdzie $m_t$ jest mantysą – liczbą długości $t$ taką, że $m\in (0,\frac{1}{2}⟩,$ a $c$ jest cechą – dowolną liczbą całkowitą

$\begin{array}{cccccccccc}rd(x)=& \pm & 0.& 1& c_1& \dots & c_{t-i}& c_{t-i+1}& \dots & c_t\\ rd(y)=& \pm & 0.& 1& d_1& \dots & d_{t-i}& d_{t-i+1}& \dots & d_t\\ rd(x)-rd(y)=& \pm & 0.& 0& 0& \dots & 0& 1& \dots & c_t-d_t\end{array}$

W wyniku odejmowania bliskich liczb powstaje liczba zawierająca na pierwszych $t-i$ pozycjach zera, na pozostałych pozycjach co najmniej jedną jedynkę. Liczba będąca wynikiem odejmowania musi być znormalizowana, tj. przedstawiona w postaci:

$rd(x-y)=\pm m_t\cdot 2^c,$

gdzie $m\in (0,\frac{1}{2}⟩.$

Aby otrzymać mantysę spełniającą ten warunek, należy „obciąć” początkowe zera w liczbie $x-y$ (poprzez pomożenie przez $2^{t-i}$) – wtedy jednak ostatnie niezerowe cyfry na pozycjach $x-y$ zostaną przesunięte na pierwsze pozycje, i jeżeli $i<t,$ nie będzie wiadomo, czym zapełnić pozostałe miejsca w mantysie (właściwe zostały wcześniej odrzucone, przez zaokrąglenie $x$ i $y$). Przyjęcie, że te utracone pozycje zostaną zapełnione np. zerami, jest tak samo dobre jak założenie, że zostaną one zapełnione losowymi liczbami – w obu wypadkach będą to bezwartościowe dane, niemające wiele wspólnego z rzeczywistym, lub choćby do niego zbliżonym wynikiem.

Gdy różnica $|x-y|$ dąży do zera, błąd względny $z$ rośnie nieograniczenie.

Przykłady

Przykład 1

Za przykład zadania źle uwarunkowanego, tj. takiego, w przypadku którego może dojść do utraty cyfr znaczących w trakcie obliczeń komputerowych, może posłużyć prosta funkcja:

$f(x)=\sqrt{x+9}-3.$

Dla $x$ w pobliżu zera wartość pod pierwiastkiem jest bardzo bliska 3 i w przypadku obliczeń dokonywanych przy pomocy komputera występuje utrata cyfr znaczących.

Rozwiązanie

Prostym sposobem na poradzenie sobie z tym problemem jest przekształcenie wzoru naszej funkcji:

$f(x)=(\sqrt{x+9}-3)\frac{\sqrt{x+9}+3}{\sqrt{x+9}+3}=\frac{x+9-9}{\sqrt{x+9}+3}=\frac{x}{\sqrt{x+9}+3}.$

Jest to wzór algebraicznie równoważny, a nie zawierający operacji odejmowania – teraz nawet dla $x$ bliskich 0 w przypadku obliczeń komputerowych nie wystąpi zjawisko utraty cyfr znaczących.

Przykład 2

Innym przykładem na to, że nawet najprostsze algorytmy mogą być źle uwarunkowane, jest „szkolny” algorytm obliczania pierwiastków równania kwadratowego

$x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

W sposobie obliczenia jednego z pierwiastków jest odejmowanie. Możliwa jest sytuacja, w której wartość $-b$ i $\sqrt{b^2-4ac}$ mogą być dość bliskie zeru co do modułu – nastąpi utrata cyfr znaczących.

Rozwiązanie

Sposobem na ominięcie tego problemu mogą być Wzory Viète’a – dobrze uwarunkowany pierwiastek może być obliczony „wprost”, drugi otrzymany ze wzoru Viète’a. Należy również zauważyć, że możemy mieć tutaj do czynienia z dwoma przypadkami, tj. $b>=0$ oraz $b<0.$ Dla pierwszego przypadku dobrze uwarunkowanym będzie pierwiastek pierwszy, a dla drugiego przypadku dobrze uwarunkowanym będzie pierwiastek drugi.