Twierdzenie o części standardowej

Twierdzenie o części standardowej – twierdzenie analizy niestandardowej mówiące o tym, że nieskończenie blisko liczby hiperrzeczywistej ograniczonej znajduje się dokładnie jedna liczba standardowa, tzn.:

${\mathrm{\forall }}_{a\in 𝕃}\mathrm{\exists }{!}_{r\in ℝ}a\approx r^{*}$.

Liczbę $r$ wyznaczoną przez to twierdzenie oznaczać można jako $\text{st}(a)$.

Dowód twierdzenia

Ustalmy dowolnie liczbę $a\in 𝕃\subset {ℝ}^{*}.$ Zdefiniujmy zbiory $A:=\{x\in ℝ:a\succcurlyeq x^{*}\}$ oraz $B:=\{x\in ℝ:a\prec x^{*}\}.$ Z prawa trychotomii w uporządkowanym ciele liczb hiperrzeczywistych wynika, że $(A,B)$ jest przekrojem Dedekinda w $(ℝ,<).$ Zauważmy, że przekrój ten wyznacza liczbę rzeczywistą $r$ taką, że ${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in A}{\mathrm{\forall }}_{\beta \in B}\alpha ⩽r⩽\beta .$ Ponieważ ciało liczb rzeczywistych spełnia aksjomat Archimedesa, to da się wyznaczyć taki ciąg $(c_n)\subset ℝ,$ dla którego $c_{2k-1}\in A$ i $c_{2k}\in B$ oraz $c_{2k}-c_{2k-1}<\frac{1}{k}.$ Zatem $a,r^{*}\in \bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[c_{2k-1};c_{2k}],$ co znaczy, że $r^{*}\approx a.$ Liczba $r$ jest tu wyznaczona jednoznacznie, ponieważ nie istnieją dwie standardowe liczby rzeczywiste, które byłyby nieskończenie blisko siebie. $◻$