Twierdzenie Whiteheada

Twierdzenie Whiteheada – twierdzenie teorii homotopii udowodnione przez J. H. C. Whiteheada.

Sformułowanie

Słaba homotopijna równoważność $f:X\to Y$ między CW-kompleksami $X$ oraz $Y$ jest homotopijną równoważnością.

Uwagi

• Założenie, że przestrzenie $X$ oraz $Y$ są CW-kompleksami jest istotne. Nie każda słaba homotopijna równoważność jest homotopijną równoważnością. Przykładowo z każdym CW-kompleksem $X$ można stowarzyszyć przestrzeń Aleksandrowa $𝒦(X)$ oraz słabą homotopijną równoważność $f:X\to 𝒦(X),$ która jest homotopijną równoważnością tylko wtedy, gdy $𝒦(X)$ jest homotopijnie równoważna pewnej przestrzeni dyskretnej.
• Podobnie, nie wystarczy, aby CW-kompleksy $X$ oraz $Y$ miały izomorficzne grupy homotopii. Musi istnieć słaba homotopijna równoważność $f:X\to Y.$ Przykładowo jeżeli $X$ jest rzeczywistą płaszczyzną rzutową ${ℝ\mathbb{P}}^2,$ a $Y={𝕊}^2\times {ℝ\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }},$ to obie przestrzenie mają grupy podstawowe izomorficzne z ${\mathbb{Z}}_2.$ Ponadto ich wyższe grupy homotopii są izomorficzne, ponieważ ich nakrycia uniwersalne ${𝕊}^2$ oraz ${𝕊}^2\times {𝕊}^{\mathrm{\infty }}$ są homotopijnie równoważne. Jednakże $X$ oraz $Y$ mają nieizomorficzne grupy homologii, więc nie mogą być homotopijnie równoważne.