Twierdzenie Taubera

Twierdzenie Taubera – twierdzenie analizy zespolonej pozwalające odwrócić przy dodatkowym założeniu twierdzenie Abela. Zostało udowodnione przez słowackiego matematyka Alfreda Taubera.

Sformułowanie

Niech $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ będzie szeregiem potęgowym o promieniu zbieżności 1. Jeśli $n{a}_n$ zbiega do zera przy $n$ dążącym do nieskończoności oraz dla pewnego ciągu $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {ℂ}^{\mathbb{N}}$ o wyrazach spełniających dla pewnego K warunek: $\frac{|1-z_n|}{1-|z_n|}<K$ zachodzi $f(z_n)\to s,$ to szereg $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ jest zbieżny i $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=s.$

Dowód

Oznaczmy przez $N(z)$ liczbę całkowitą taką, że: $N(z)⩽\frac{1}{1-|z|}<N(z)+1.$ Przy $z_n$ dążących do 1 $N(z_n)\to \mathrm{\infty }.$ Zatem ponieważ $\left|\sum _{n=N(z_k)}^{N(z_l)}{a}_n\right|⩽|\sum _{n=0}^{N(z_l)}{a}_n-f(z_l)|+|f(z_l)-f(z_k)|+|f(z_k)-\sum _{n=0}^{N(z_k)}{a}_n|$ jeśli $f(z_n)$ spełnia warunek Cauchy’ego, to by wykazać, że $\sum _{n=0}^N{a}_n$ też go spełnia wystarczy udowodnić, że $f(z)-\sum _{n=0}^{N(z)}{a}_n$ dąży do zera.

Z założenia dla dostatecznie dużych $N$ dla wszystkich $n>N$ zachodzi $|n{a}_n|<ϵ,$ więc wówczas:

$\left|\sum _{n=N(z)+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n\right|=\left|\sum _{n=N(z)+1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n\frac{z^n}{n}\right|<\frac{ϵ}{N(z)+1}\sum _{n=N(z)+1}^{\mathrm{\infty }}|z{|}^n<ϵ\frac{\frac{1}{1-|z|}}{N(z)+1}<ϵ.$

Ponieważ $|1-z^n|=|(1-z)\left(\sum _{k=0}^n{z}^k\right)|<n|1-z|,$ zaś z twierdzenia o zbieżności średnich wynika, że $\frac{1}{N}\sum _{n=0}^N|n{a}_n|\to 0$ przy $N\to \mathrm{\infty },$ zachodzi (korzystając z warunku spełnianego przez wyrazy ciągu oraz definicji $N(z)$):

$|\sum _{n=0}^{N(z)}{a}_n(1-z^n)|⩽|\sum _{n=0}^{N(z)}{a}_{n}n(1-z)|⩽K(1-|z|)\sum _{n=0}^{N(z)}|n{a}_n|⩽K\frac{1}{N(z)}\sum _{n=0}^{N(z)}|n{a}_n|<ϵ.$

Zatem:

$|f(z_n)-\sum _{k=0}^{N(z_n)}{a}_k|⩽\left|\sum _{k=N(z_n)+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k\right|+|-\sum _{k=0}^{N(z_n)}{a}_k(1-z^k)|<ϵ+ϵ.$

Uwaga: z twierdzenia Abela wynika, że zawsze można wziąć ciąg należący do odcinka $(01),$ bo jeśli szereg jest zbieżny, to zbieżność $f(z_n)$ zachodzi dla każdego ciągu spełniającego warunek.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę