Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych

Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych – twierdzenie analizy zespolonej wiążące zbieżność szeregu potęgowego w punkcie brzegu koła zbieżności ze zbieżnością funkcji reprezentowanej przez szereg wewnątrz koła dla argumentów zbieżnych do tego punktu po pewnej drodze udowodnione przez norweskiego matematyka Nielsa Henrika Abela.

Sformułowanie

Niech $(a_n)$ będzie ciągiem zespolonym: $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {ℂ}^{\mathbb{N}}.$ Jeżeli szereg $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ jest zbieżny oraz funkcja zespolona określona w kole jednostkowym $f:\{z:|z|<1\}\to ℂ$ jest dana wzorem $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ to wówczas $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\underset{z\to 1}{\lim }f(z),$ gdy $z$ dąży do 1 po drodze zawartej pomiędzy dwiema cięciwami koła zbieżności wychodzącymi z punktu 1.

Uwagi: Przykładem takiej drogi może być odcinek otwarty $(0,1).$ Przypadek dowolnego skończonego promienia zbieżności i punktu z jego brzegu może być sprowadzony do promienia 1 i punktu 1.

Dowód

Oznaczając przez $s_n$ sumy częściowe szeregu $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,$ a przez $s$ jego sumę i korzystając z przekształcenia Abela można zapisać:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n=s_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(s_n-s_{n-1})z^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_n(z^n-z^{n+1})=(1-z)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_n{z}^n$

Zgodnie ze wzorem na granicę szeregu geometrycznego: $s=(1-z)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}s{z}^n,$ a zatem:

$f(z)-s=(1-z)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(s_n-s)z^n$

Ze zbieżności szeregu wynika, że można dobrać takie $N,$ by dla każdego $n>N$ wartość wyrażenia $s_n-s$ była dostatecznie mała (mniejsza od ustalonego $\epsilon >0$).

Suma pierwszych $N$ wyrazów szeregu $\sum _{n=0}^N(s_n-s)z^n$ jest dla dowolnego $z$ z koła zbieżności ograniczona przez stałą $\sum _{n=0}^N|s_n-s|.$ Ponieważ dla $z$ dostatecznie bliskich 1 wartość $|1-z|$ jest dowolnie mała, wyrażenie $(1-z)\sum _{n=0}^N(s_n-s)z^n$ dąży do zera.

Korzystamy z potęgi punktu 1 względem okręgu o środku 0 przechodzącego przez $z$ dla prostych przechodzących przez $z$ (wtedy jeden z odcinków ma długość $|1-z|$) i 0 (wtedy jeden z odcinków ma długość $1-|z|$).

Wnioskujemy, że jeśli $z$ leży pomiędzy pewnymi cięciwami (można zakładać, że cięciwy są symetryczne względem $(0,1),$ bo zmiana cięciwy pod mniejszym kątem na symetryczną do drugiej zwiększa obszar zawarty między nimi), a $|z|>r,$ gdzie $r$ to promień okręgu o środku 0 stycznego do obu cięciw (dla $z$ dostatecznie bliskich 1 można tak zakładać), to zachodzi nierówność:

$\frac{|1-z|}{1-|z|}<\frac{2}{l}$

gdzie $l$ jest długością odcinka pomiędzy 1 a punktem styczności cięciwy.

Dla $|z|<1$ zachodzi:

$(1-z)\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}(s_n-s)z^n⩽|1-z|\epsilon \sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}|z{|}^n=\epsilon |z{|}^{N+1}\frac{|1-z|}{1-|z|}$

i ze względu na ograniczoność $\frac{|1-z|}{1-|z|}$ i dowolność wyboru $\epsilon ,$ wyrażenie może być dowolnie małe. Zatem również $f(z)-s$ jest dla $z$ dostatecznie bliskich 1 dowolnie małe.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld