Twierdzenie Tajmanowa

Twierdzenie Tajmanowa – twierdzenie w topologii ogólnej, podające charakteryzację możliwości przedłużania odwzorowań ciągłych z gęstych podprzestrzeni przestrzeni zwartych na całą przestrzeń. Twierdzenie zostało po raz pierwszy udowodnione przez rosyjskiego matematyka Asana Tajmanowa.

Twierdzenie

Załóżmy, że

• $Y$ jest przestrzenią zwartą,
• $X\subseteq Y$ jest jej gęstą podprzestrzenią, tzn. $\text{cl}X=Y,$
• $Z$ jest przestrzenią zwartą,
• funkcja $f:X\to Z$ jest ciągła.

Wówczas istnieje funkcja ciągła $\bar{f}:Y\to Z$ taka, że $\bar{f}(x)=f(x)$ dla $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych dwóch zbiorów otwartych $U,V\subseteq Z$ takich, że

$\text{cl}U\cap \text{cl}V=\varnothing$

spełniony jest warunek

${\text{cl}}_X{f}^{-1}[U]\cap {\text{cl}}_X{f}^{-1}[V]=\varnothing .$

Wnioski

• Jeśli $\kappa$ jest nieskończoną liczbą kardynalną oraz domknięty i nigdziegęsty podzbiór $F$ kostki Cantora $\{0,1{\}}^{\kappa }$ nie zawiera zbiorów typu G_δ, to $\beta (\{0,1{\}}^{\kappa }\setminus F)=\{0,1{\}}^{\kappa }.$ (zob. uzwarcenie Čecha-Stone’a).
• Przestrzeń $\beta \mathbb{N}$ jest homeomorficzna z pewnym podziorem kostki Cantora wagi continuum.

Zobacz też

• lemat Urysohna

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek. Teoria mnogości, PWN, Warszawa 2007.