Twierdzenie Sturma

Szablon:DopracowaćTwierdzenie Sturma – twierdzenie pozwalające ustalić liczbę miejsc zerowych dowolnego wielomianu rzeczywistego w ustalonym przedziale, sformułowane przez Jacques’a Charles’a François Sturma. Jest to uogólnienie reguły znaków Kartezjusza, szacującej liczbę pierwiastków głównie wśród liczb dodatnich, ujemnych i w innych przedziałach otwartych (nieskończonych).

Ciągi Sturma

Dla danego wielomianu

$f(x)=a_n{x}^n+\dots a_{1}x+a_0$

Ciąg Sturma (wielomianu $f$) określony jest wzorami:

$\begin{array}{cc}{X}_0& =X\\ X_1& =X^{\prime }\\ X_2& =-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}(X_0,X_1)\\ X_3& =-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}(X_1,X_2)\\ & ⋮\\ X_{r+1}& =-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}(X_{r-1},X_r),\end{array}$

gdzie $\mathrm{rem}(X,Y)$ oznacza resztę z dzielenia wielomianu $X$ przez $Y$ oraz $r$ jest taką liczbą naturalną, że $X_{r+1}=0.$

Innymi słowy, ciąg Sturma danego wielomianu $w$ jest (skończonym) ciągiem reszt uzyskiwanych podczas stosowania algorytmu Euklidesa do odpowiednich wielomianów $X_r$ jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianu $X$ oraz jego pochodnej. Jeżeli wielomian ten ma tylko pojedyncze pierwiastki, to $X_r$ jest funkcją stałą.

Twierdzenie Sturma

Niech $w(\xi )$ będzie liczbą zmian znaku (nie liczy się zer) w ciągu Sturma:

$X_0(\xi ),X_1(\xi ),X_2(\xi ),\dots ,X_r(\xi ).$

Twierdzenie Sturma mówi, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych $a<b$ które nie są pierwiastkami wielomianu $X$ liczba różnych pierwiastków wielomianu w przedziale $[a,b]$ jest równa

$|w(a)-w(b)|.$

Zastosowania

Twierdzenie Sturma można wykorzystać do wyznaczenia liczby rzeczywistych pierwiastków dowolnego wielomianu. Wystarczy znaleźć taką liczbę $M,$ że wszystkie pierwiastki wielomianu $X$ leżą w przedziale $[-M,M];$ za taką liczbę można wziąć np.

$M=\max \{1,\sum |a_i|\}.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Otwarty dostęp Przemysław Koprowski, Twierdzenie Sturma, kanał autorski na YouTube, 7 kwietnia 2021 [dostęp 2024-06-22].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-06-20].
• Szablon:Otwarty dostęp Sturm theorem Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].